\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \renewcommand{\neq}{\mathrel{\vcenter{\halign{\hfil$##$\hfil\cr >\cr\noalign{\kern-8pt}<\cr}}}} \renewcommand{\leq}{\mathrel{\vcenter{\halign{\hfil$##$\hfil\cr =\cr\noalign{\kern-8pt}<\cr}}}} \renewcommand{\geq}{\mathrel{\vcenter{\halign{\hfil$##$\hfil\cr >\cr\noalign{\kern-8pt}=\cr}}}} \begin{document} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large\bfseries Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe.\\[12 pt] Bernhard Riemann\\[12 pt] [Aus dem dreizehnten Bande der Abhandlungen der K\"{o}niglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen.]\\[24 pt] \large\mdseries Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt] Preliminary Version: December 1998\\ Corrected: April 2000 \end{center} \newpage \setcounter{page}{1} \title{Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe.} \author{Bernhard Riemann} \date{[Aus dem dreizehnten Bande der Abhandlungen der K\"{o}niglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu G\"{o}ttingen.]\thanks{Diese Abhandlung ist im Jahre 1854 von dem Verfasser behufs seiner Habilitation an der Universit\"{a}t zu G\"{o}ttingen der philosophischen Facult\"{a}t eingereicht. Wiewohl der Verfasser ihre Ver\"{o}ffentlichung, wie es scheint, nicht beabsichtigt hat, so wird doch die hiermit erfolgende Herausgabe derselben in g\"{a}nzlich unge\"{a}nderter Form sowohl durch das hohe Interesse des Gegenstandes an sich als durch die in ihr niedergelegte Behandlungsweise der wichtigsten Principien der Infinitesimal-Analysis wohl hinl\"{a}nglich gerechtfertigt erscheinen.\hfill\break \hbox to \textwidth{\quad Braunschweig, im Juli 1867.\hfill R. Dedekind.\quad}}} \maketitle Der folgende Aufsatz \"{u}ber die trigonometrischen Reihen besteht aus zwei wesentlich verschiedenen Theilen. Der erste Theil enth\"{a}lt eine Geschichte der Untersuchungen und Ansichten \"{u}ber die willk\"{u}rlichen (graphisch gegebenen) Functionen und ihre Darstellbarkeit durch trigonometrische Reihen. Bei ihrer Zusammenstellung war es mir verg\"{o}nnt, einige Winke des ber\"{u}hmten Mathematikers zu benutzen, welchem man die erste gr\"{u}ndliche Arbeit \"{u}ber diesen Gegenstand verdankt. In zweiten Theile liefere ich \"{u}ber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe eine Untersuchung, welche auch die bis jetzt noch unerledigten F\"{a}lle umfasst. Es war n\"{o}thig, ihr einen kurzen Aufsatz \"{u}ber den Begriff eines bestimmten Integrales und den Umfang seiner G\"{u}ltigkeit voraufzuschicken. \begin{center} \large\bfseries Geschichte der Frage \"{u}ber die Darstellbarkeit einer willk\"{u}rlich gegebenen Function durch eine trigonometrische Reihe. \end{center} \centerline{1.} \nobreak\medskip Die von \emph{Fourier} so genannten trigonometrischen Reihen, d.~h. die Reihen von der Form \[ \begin{array}{r} a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + a_3 \sin 3x + \cdots \\ + {\textstyle\frac{1}{2}} b_0 + b_1 \cos x + b_2 \cos 2x + b_3 \cos 3x + \cdots \end{array} \] spielen in demjenigen Theile der Mathematik, wo ganz willk\"{u}rliche Functionen vorkommen, eine bedeutende Rolle; ja, es l\"{a}sst sich mit Grund behaupten, dass die wesentlichsten Fortschritte in diesem f\"{u}r die Physik so wichtigen Theile der Mathematik von der klareren Einsicht in die Natur dieser Reihen abh\"{a}ngig gewesen sind. Schon gleich bei den ersten mathematischen Untersuchungen, die auf die Betrachtung willk\"{u}rlicher Functionen f\"{u}hrten, kam die Frage zur Sprache, ob sich eine solche ganz willk\"{u}rliche Function durch eine Reihe von obiger Form ausdr\"{u}cken lasse. Es geschah dies in der Mitte des vorigen Jahrhunderts bei Gelegenheit der Untersuchungen \"{u}ber die schwingenden Saiten, mit welchen sich damals die ber\"{u}hmtesten Mathematiker besch\"{a}ftigten. Ihre Ansichten \"{u}ber unsern Gegenstand lassen sich nicht wohl darstellen, ohne auf dieses Problem einzugehen. Unter gewissen Voraussetzungen, die in der Wirklichkeit n\"{a}herungsweise zutreffen, wird bekanntlich die Form einer gespannten in einer Ebene schwingenden Saite, wenn $x$ die Entfernung eines unbestimmten ihre Punkte von ihrem Anfangspunkte, $y$ seine Entfernung aus der Ruhelage zur Zeit~$t$ bedeutet, durch die partielle Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \alpha \alpha \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \] bestimmt, wo $\alpha$ von $t$ und bei einer \"{u}berall gleich dicken Saite von $x$ unabh\"{a}ngig ist. Der erste, welcher eine allgemeine L\"{o}sung dieser Differentialgleichung gab, war \emph{d'Alembert}. Er zeigte\footnote{M\'{e}moires de l'acad\'{e}mie de Berlin. 1747. pag.~214.}, dass jede Function von $x$ und $t$, welche f\"{u}r $y$ gesetzt, die Gleichung zu einer identischen macht, in der Form \[ f(x + \alpha t) + \varphi(x - \alpha t) \] enthalten sein m\"{u}sse, wie sich dies durch Einf\"{u}hrung der unabh\"{a}ngig ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}ssen $x + \alpha t$, $x - \alpha t$ anstatt $x$, $t$ ergiebt, wodurch \[ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \frac{1}{\alpha \alpha} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \quad\hbox{in}\quad 4 \frac{\displaystyle \partial \frac{\partial y}{\partial (x + \alpha t)}}{\partial (x - \alpha t)} \] \"{u}bergeht. Ausser dieser partiellen Differentialgleichung, welche sich aus den allgemeinen Bewegungsgesetzen ergiebt, muss nun $y$ noch die Bedingung erf\"{u}llen, in den Befestigungspunkten der Saite stets $= 0$ zu sein; man hat also, wenn in dem einen dieser Punkte $x = 0$, in dem anderen $x = l$ ist, \[ f(\alpha t) = - \varphi( - \alpha t),\quad f(l + \alpha t) = - \varphi( l - \alpha t) \] und folglich \[ f(z) = - \varphi(-z) = - \varphi(l - (l + z)) = f(2l + z),\] \[ y = f(\alpha t + x) - f(\alpha t - x).\] Nachdem \emph{d'Alembert} dies f\"{u}r die allgemeine L\"{o}sung des Problems geleistet hatte, besch\"{a}ftigt er sich in einer Fortsetzung\footnote{Ibid.\ pag.~220.} seiner Abhandlung mit der Gleichung $f(z) = f(2l + z)$; d.~h.\ er sucht analytische Ausdr\"{u}cke, welche unver\"{a}ndert bleiben, wenn $z$ um $2l$ w\"{a}chst. Es war ein wesentliches Verdienst \emph{Euler}'s, der im folgenden Jahrgange der Berliner Abhandlungen\footnote{M\'{e}moires de l'acad\'{e}mie de Berlin. 1748. pag.~69.} eine neue Darstellung dieser \emph{d'Alembert}'schen Arbeiten gab, dass er das Wesen der Bedingungen, welchen die Function $f(z)$ gen\"{u}gen muss, richtiger erkannte. Er bemerkte, dass der Natur des Problems nach die Bewegung der Saite vollst\"{a}ndig bestimmt sei, wenn f\"{u}r irgend einen Zeitpunkt die Form der Saite und die Geschwindigkeit jedes Punktes $\displaystyle \left( \mbox{also $y$ und } \frac{\partial y}{\partial t} \right)$ gegeben seien, und zeigte, dass sich, wenn man diese beiden Functionen sich durch willk\"{u}rlich gezogene Curven bestimmt denkt, daraus stets durch eine einfache geometrische Construction die \emph{d'Alembert}'sche Function $f(z)$ finden l\"{a}sst. In der That, nimmt man an, dass f\"{u}r \[ t = 0,\quad y = g(x) \quad{und}\quad \frac{\partial y}{\partial t} = h(x) \] sei, so erh\"{a}lt man f\"{u}r die Werthe von $x$ zwischen $0$ und $l$ \[ f(x) - f(-x) = g(x),\quad f(x) + f(-x) = \frac{1}{\alpha} \int h(x) \, dx \] und folglich die Function $f(z)$ zwischen $-l$ und $l$; hieraus aber ergiebt sich ihr Werth f\"{u}r jeden andern Werth von $z$ vermittelst der Gleichung \[ f(z) = f(2l + z). \] Dies ist in abstracten, aber jetzt allgemein gel\"{a}ufigen Begriffen dargestellt, die \emph{Euler}'sche Bestimmung der Function $f(z)$. Gegen diese Ausdehnung seiner Methode durch \emph{Euler} verwahrte sich indess \emph{d'Alembert} sofort\footnote{M\'{e}moires de l'acad\'{e}mie de Berlin. 1750. pag.~358. En effet on ne peut ce me semble exprimer $y$ analytiquement d'une mani\`{e}re plus g\'{e}n\'{e}rale, qu'en la supposant une fonction de $t$ et de $x$. Mais dans cette supposition on ne trouve la solution du probl\`{e}me que pour les cas o\`{u} les diff\'{e}rentes figures de la corde vibrante peuvent \^{e}tre renferm\'{e}s dans une seule et m\^{e}me \'{e}quation.}, weil seine Methode nothwendig voraussetze, dass $y$ sich in $t$ und $x$ analytisch ausdr\"{u}cken lasse. Ehe eine Antwort \emph{Euler}'s hierauf erfolgte, erschien eine dritte von diesen beiden ganz verschiedene Behandlung dieses Gegenstandes von Daniel \emph{Bernoulli}\footnote{M\'{e}moires de l'acad\'{e}mie de Berlin. 1753. p.~147.}. Schon vor \emph{d'Alembert} hatte \emph{Taylor}\footnote{Taylor de methodo incrementorum.} gesehen, dass $\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \alpha \alpha \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ und zugleich $y$ f\"{u}r $x = 0$ und f\"{u}r $x = l$ stets gleich $0$ sei, wenn man $\displaystyle y = \sin \frac{n \pi x}{l} \cos \frac{n \pi \alpha t}{l}$ und hierin f\"{u}r $n$ eine ganze Zahl setze. Er erkl\"{a}rte hieraus die physikalische Thatsache, dass eine Saite ausser ihrem Grundtone auch den Grundton einer $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},\ldots$ so langen (\"{u}brigens ebenso beschaffenen) Saite geben k\"{o}nne, und hielt seine particul\"{a}re L\"{o}sung f\"{u}r allgemein, d.~h.\ er glaubte die Schwingung der Saite w\"{u}rde stets, wenn die ganze Zahl~$n$ der H\"{o}he des Tons gem\"{a}ss bestimmt w\"{u}rde, wenigstens sehr nahe durch die Gleichung ausgedr\"{u}ckt. Die Beobachtung, dass eine Saite ihre verschiedenen T\"{o}ne gleichzeitig geben k\"{o}nne, f\"{u}hrte nun \emph{Bernoulli} zu der Bermerkung, dass die Saite (der Theorie nach) auch der Gleichung \[ y = \sum a_n \sin \frac{n \pi x}{l} \cos \frac{n \pi \alpha}{l} (t - \beta_n) \] gem\"{a}ss schwingen k\"{o}nne, und weil sich aus dieser Gleichung alle beobachteten Modificationen der Erscheinung erkl\"{a}ren liessen, so hielt er sie f\"{u}r die allgemeinste\footnote{l.~c.\ p.~157.\ art.~XIII.}. Um diese Ansicht zu st\"{u}tzen, untersuchte er die Schwingungen eines masselosen gespannten Fadens, der in einzelnen Punkten mit endlichen Massen beschwert ist, und zeigte, dass die Schwingungen desselben stets in eine der Zahl der Punkte gleiche Anzahl von solchen Schwingungen zerlegt werden kann, deren jede f\"{u}r alle Massen gleich lange dauert. Diese Arbeiten \emph{Bernoulli}'s veranlassten einen neuen Aufsatz \emph{Euler}'s, welcher unmittelbar nach ihnen unter den Abhandlungen der Berliner Akademie abgedruckt ist\footnote{M\'{e}moires de l'acad\'{e}mie de Berlin. 1753. p.~196.}. Er h\"{a}lt darin \emph{d'Alembert} gegen\"{u}ber fest\footnote{l.~c.\ p.~214.}, dass die Function $f(z)$ eine zwischen den Grenzen $-l$ und $l$ ganz willk\"{u}rliche sein k\"{o}nne, und bemerkt\footnote{l.~c.\ art.\ III--X.}, dass \emph{Bernoulli}'s L\"{o}sung (welche er schon fr\"{u}her als eine besondere aufgestellt hatte) dann allgemein sei und zwar nur dann allgemein sei, wenn die Reihe \[ \begin{array}{r} \displaystyle a_1 \sin \frac{x \pi}{l} + a_2 \sin \frac{2 x \pi}{l} + \cdots \\[6pt] \displaystyle + {\textstyle\frac{1}{2}} b_0 + b_1 \cos \frac{x \pi}{l} + b_2 \cos \frac{2 x \pi}{l} + \cdots \end{array} \] f\"{u}r die Abscisse $x$ die Ordinate einer zwischen den Abscissen $0$ und $l$ ganz willk\"{u}rlichen Curve darstellen k\"{o}nne. Nun wurde es damals von Niemand bezweifelt, dass alle Umformungen, welche man mit einem analytischen Aus\-drucke---er sei endlich oder unendlich---vornehmen k\"{o}nne, f\"{u}r jedwede Werthe der unbestimmten Gr\"{o}ssen g\"{u}ltig seien oder doch nur in ganz speciellen F\"{a}llen unanwendbar w\"{u}rden. Es schien daher unm\"{o}glich, eine algebraische Curve oder \"{u}berhaupt eine analytisch gegebene nicht periodische Curve durch obigen Ausdruck darzustellen, und \emph{Euler} glaubte daher, die Frage gegen \emph{Bernoulli} entscheiden zu m\"{u}ssen. Der Streit zwischen \emph{Euler} und \emph{d'Alembert} was indess noch immer unerledigt. Dies veranlasste einen jungen, damals noch wenig bekannten Mathematiker, \emph{Lagrange}, die L\"{o}sung der Aufgabe auf einem ganz neuen Wege zu versuchen, auf welchem er zu \emph{Euler}'s Resultaten gelangte. Er unternahm es\footnote{Miscellanea Taurinensia. Tom~I. Recherches sur la nature et la propagation du son.}, die Schwingungen eines masselosen Fadens zu bestimmen, welcher mit einer endlichen unbestimmten Anzahl gleich grosser Massen in gleich grossen Abst\"{a}nden beschwert ist, und untersuchte dann, wie sich diese Schwingungen \"{a}ndern, wenn die Anzahl der Massen in's Unendliche w\"{a}chst. Mit welcher Gewandtheit, mit welchem Aufwande analytischer Kunstgriffe er aber auch den ersten Theil dieser Untersuchung durchf\"{u}hrte, so liess der Uebergang vom Endlichen zum Unendlichen doch viel zu w\"{u}nschen \"{u}brig, so dass \emph{d'Alembert} in einer Schrift, welche er an die Spitze seiner opuscules math\'{e}matiques stellte, fortfahren konnte, \emph{seiner} L\"{o}sung den Ruhm der Gr\"{o}ssten Allgemeinheit zu vindiciren. Die Ansichten der damaligen ber\"{u}hmten Mathematiker waren und blieben daher in dieser Sache getheilt; den auch in sp\"{a}tern Arbeiten behielt jeder in Wesentlichen seinen Standpunkt bei. Um also schliesslich ihre bei Gelegenheit dieses Problems entwickelten Ansichten \"{u}ber die willk\"{u}rlichen Functionen und \"{u}ber die Darstellbarkeit derselben durch eine trigonometrische Reihe zusammenzustellen, so hatte \emph{Euler} zuerst diese Functionen in die Analysis eingef\"{u}hrt und, auf geometrische Anschauung gest\"{u}tzt, die Infinitesimalrechnung auf sie angewandt. \emph{Lagrange}\footnote{Miscellanea Taurinensia. Tom.~II. Pars math.\ pag.~18.} hielt \emph{Euler}'s Resultate (seine geometrische Construction des Schwingungsverlaufs) f\"{u}r richtig; aber ihm gen\"{u}gte die \emph{Euler}'sche geometrische Behandlung dieser Functionen nicht. \emph{D'Alembert} \footnote{Opuscules math\'{e}matiques p.\ d'Alembert. Tome premier. 1761. pag.~16. art.~VII--XX.} dagegen ging auf die \emph{Euler}'sche Auffassungsweise der Differentialgleichung ein und beschr\"{a}nkte sich, die Richtigkeit seiner Resultate anzufechten, weil man bei ganz willk\"{u}rlichen Functionen nicht wissen k\"{o}nne, ob ihre Differentialquotienten stetig seien. Was die \emph{Bernoulli}'sche L\"{o}sung betraf, so kamen alle drei darin \"{u}berein, sie nicht f\"{u}r allgemein zu halten; aber w\"{a}hrend \emph{d'Alembert}\footnote{Opuscules math\'{e}matiques. Tome~I. pag.~42. art.~XXIV.}, um \emph{Bernoulli}'s L\"{o}sung f\"{u}r minder allgemein, als die seinige, erkl\"{a}ren zu k\"{o}nnen, behaupten musste, dass auch eine analytisch gegebene periodische Function sich nicht immer durch eine trigonometrische Reihe darstellen lasse, glaubte \emph{Lagrange}\footnote{Misc.\ Taur. Tom.~III. Pars math.\ pag.~221. art.~XXV.} diese M\"{o}glichkeit beweisen zu k\"{o}nnen. \medbreak \centerline{2.} \nobreak\medskip Fast f\"{u}nfzig Jahre vergingen, ohne dass in der Frage \"{u}ber die analytische Darstellbarkeit willk\"{u}rlicher Functionen ein wesentlicher Fortschritt gemacht wurde. Da warf eine Bemerkung \emph{Fourier}'s ein neues Licht auf diesen Gegenstand; eine neue Epoche in der Entwicklung dieses Theils der Mathematik begann, die sich bald auch \"{a}usserlich in grossartigen Erweiterungen der mathematischen Physik kund that. \emph{Fourier} bemerkte, dass in der trigonometrischen Reihe \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{r} a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + \cdots \\ + {\textstyle\frac{1}{2}} b_0 + b_1 \cos x + b_2 \cos 2x + \cdots \end{array} \right. \] die Coefficienten sich durch die Formeln \[ a_n = {1 \over \pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \, dx,\quad b_n = {1 \over \pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx \, dx \] bestimmen lassen. Er sah, dass diese Bestimmungsweise auch anwendbar bleibe, wenn die Function $f(x)$ ganz willk\"{u}rlich gegeben sei; er setzte f\"{u}r $f(x)$ eine so genannte discontinuirliche Function (die Ordinate einer gebrochenen Linie f\"{u}r die Abscisse $x$) und erhielt so eine Reihe, welche in der That stets den Werth der Function gab. Als \emph{Fourier} in einer seiner ersten Arbeiten \"{u}ber die W\"{a}rme, welche er der franz\"{o}sischen Akademie vorlegte\footnote{Bulletin des sciences p.\ la soc.\ philomatique. Tome~I.\ p.~112.}, (21.~Dec.\ 1807) zuerst den Satz aussprach, dass eine ganz willk\"{u}rlich (graphisch) gegebene Function sich durch eine trigonometrische Reihe ausdr\"{u}cken lasse, war diese Behauptung dem greisen \emph{Lagrange} so unerwartet, dass er ihr auf das Entschiedenste entgegentrat. Es soll\footnote{Nach einer m\"{u}ndlichen Mittheilung des Herrn Professor Dirichlet.} sich hier\"{u}ber noch ein Schriftst\"{u}ck im Archiv der Pariser Akademie befinden. Dessenungeachtet verweist\footnote{Unter Andern in dem verbreitenen Trait\'{e} de m\'{e}chanique Nro.~323.\ p.~638.} \emph{Poisson} \"{u}berall, wo er sich der trigonometrischen Reihen zur Darstellung willk\"{u}rlicher Functionen bedient, auf eine Stelle in \emph{Lagrange's} Arbeiten \"{u}ber die schwingenden Saiten, wo sich diese Darstellungsweise finden soll. Um diese Behauptung, die sich nur aus der bekannten Rivalit\"{a}t zwischen \emph{Fourier} und \emph{Poisson} erkl\"{a}ren l\"{a}sst\footnote{Der Bericht im bulletin des sciences \"{u}ber die von Fourier der Akademie vorgelegte Abhandlung ist von Poisson.}, zu widerlegen, sehen wir uns gen\"{o}thigt, noch einmal auf die Abhandlung \emph{Lagrange}'s zur\"{u}ckzukommen; denn \"{u}ber jenen Vorgang in der Akademie findet sich nichts ver\"{o}ffentlicht. Man findet in der That an der von \emph{Poisson} citirten Stelle\footnote{Misc.\ Taur.\ Tom.\ III. Pas math.\ pag.~261.} die Formel: \begin{eqnarray*} \mbox{\glqq}y &=& 2 \int Y \sin X\pi \, dx \times \sin x\pi + 2 \int Y \sin 2X\pi \, dx \times \sin 2x\pi \\ & &+ 2 \int Y \sin 3X\pi \, dx \times \sin 3x\pi + \mbox{etc.} + 2 \int Y \sin nX\pi \, dx \times \sin nx\pi, \end{eqnarray*} de sorte que, lorsque $x = X$, on aura $y = Y$, $Y$ \'{e}tant l'ordon\'{e}e qui r\'{e}pond \`{a} l'abscisse $X$.\grqq Diese Formel sieht nun allerdings ganz so aus wie die \emph{Fourier}'sche Reihe, so dass bei fl\"{u}chtiger Ansicht eine Verwechselung leicht m\"{o}glich ist; aber dieser Schein r\"{u}hrt bloss daher, weil \emph{Lagrange} das Zeichen $\int\,dX$ anwandte, wo er heute das Zeichen $\sum \Delta X$ angewandt haben w\"{u}rde. Sie giebt die L\"{o}sung der Aufgabe, die endliche Sinusreihe \[ a_1 \sin x \pi + a_2 \sin 2 x \pi + \cdots + a_n \sin n x \pi \] so zu bestimmen, dass sie f\"{u}r die Werthe \[ \frac{1}{n+1}, \frac{2}{n+1},\ldots, \frac{n}{n+1} \] von $x$, welche \emph{Lagrange} unbestimmt durch $X$ bezeichnet, gegebene Werthe erh\"{a}lt. H\"{a}tte \emph{Lagrange} in dieser Formel $n$ unendlich gross werden lassen, so w\"{a}re er allerdings zu dem \emph{Fourier}'schen Resultat gelangt. Wenn man aber seine Abhandlung durchliest, so sieht man, dass er weit davon entfernt ist zu glauben, eine ganz willk\"{u}rliche Function lasse sich wirklich durch eine unendliche Sinusreihe darstellen. Er hatte vielmehr die ganze Arbeit gerade unternommen, weil er glaubte, diese willk\"{u}rlichen Functionen liessen sich nicht durch eine Formel ausdr\"{u}cken, und von der trigonometrischen Reihe glaubte er, dass sie jede analytisch gegebene periodische Function darstellen k\"{o}nne. Freilich erscheint es uns jetzt kaum denkbar, dass \emph{Lagrange} von seiner Summenformel nicht zur \emph{Fourier}'schen Reihe gelangt sein sollte; aber dies erkl\"{a}rt sich daraus, dass durch den Streit zwischen \emph{Euler} und \emph{d'Alembert} sich bei ihm in Voraus eine bestimmte Ansicht \"{u}ber den einzuschlagenden Weg gebildet hatte. Er glaubte das Schwingungsproblem f\"{u}r eine unbestimmte endliche Anzahl von Massen erst vollst\"{a}ndig absolviren zu m\"{u}ssen, bevor er seine Grenzbetrachtungen anwandte. Diese erfordern eine ziemlich ausgedehnte Untersuchung\footnote{Misc.\ Taur. Tom.~III. Pars math.\ S.~251.}, welche unn\"{o}thig war, wenn er die \emph{Fourier}'sche Reihe kannte. Durch \emph{Fourier} was nun zwar die Natur der trigonometrischen Reihen vollkommen richtig erkannt\footnote{Bulletin d.\ sc.\ Tom.~I.\ p.~115. Les coefficients $a, a', a'',\ldots,$ \'{e}tant ainsi d\'{e}termin\'{e}s etc.}; sie wurden seitdem in der mathematischen Physik zur Darstellung willk\"{u}rlicher Functionen vielfach angewandt, und in jedem einzelnen Falle \"{u}berzeugte man sich leicht, dass die \emph{Fourier}'sche Reihe wirklich gegen den Werth der Function convergire; aber es dauerte lange, ehe dieser wichtige Satz allgemein bewiesen wurde. Der Beweis, welchen \emph{Cauchy} in einer der Pariser Akademie am 27.\ Febr.\ 1826 vorgelesenen Abhandlung gab\footnote{M\'{e}moires de l'ac.\ d.\ sc.\ de Paris. Tom.~VI.\ p.~603.}, ist unzureichend, wie \emph{Dirichlet} gezeigt hat\footnote{Crelle Journal f\"{u}r die Mathematik. Bd.~IV.\ p.~157 \& 158.}. \emph{Cauchy} setzt voraus, dass, wenn man in der willk\"{u}rlich gegebenen periodischen Function $f(x)$ f\"{u}r $x$ ein complexes Argument $x + yi$ setzt, diese Function f\"{u}r jeden Werth von $y$ endlich sei. Dies findet aber \emph{nur} Statt, wenn die Function gleich einer constanten Gr\"{o}sse ist. Man sieht indess leicht, dass diese Voraussetzung f\"{u}r die ferneren Schl\"{u}sse nicht nothwendig ist. Es reicht hin, wenn eine Function $\phi(x + yi)$ vorhanden ist, welche f\"{u}r alle positiven Werthe von $y$ endlich ist und deren reeller Theil f\"{u}r $y = 0$ der gegebenen periodischen Function $f(x)$ gleich wird. Will man diesen Satz, der in der That richtig ist\footnote{Der Beweis findet sich in der Inauguraldissertation des Verfassers.}, voraussetzen, so f\"{u}hrt allerdings der von \emph{Cauchy} eingeschlagene Weg zum Ziele, wie umgekehrt dieser Satz sich aus der \emph{Fourier}'schen Reihe ableiten l\"{a}sst. \medbreak \centerline{3.} \nobreak\medskip Erst in Januar 1829 erschien im Journal von \emph{Crelle}\footnote{Bd.~IV.\ p.~157.} eine Abhandlung von \emph{Dirichlet}, worin f\"{u}r Functionen, die durchgehends eine Integration zulassen und nicht unendlich viele Maxima und Minima haben, die Frage ihrer Darstellbarkeit durch trigonometrische Reihen in aller Strenge entschieden wurde. Die Erkenntniss des zur L\"{o}sung dieser Aufgabe einzuschlagenden Weges ergab sich ihm aus der Einsicht, dass die unendliche Reihen in zwei wesentlich verschiedene Klassen zerfallen, je nachdem sie, wenn man s\"{a}mmtliche Glieder positiv macht, convergent bleiben oder nicht. In den ersteren k\"{o}nnen die Glieder beliebig versetzt werden, der Werth der letzteren dagegen ist von der Ordnung der Glieder abh\"{a}ngig. In der That, bezeichnet man in einer Reihe zweiter Klasse die positiven Glieder der Reihe nach durch \[ a_1, a_2, a_3,\ldots, \] die negativen durch \[ -b_1, -b_2, -b_3,\ldots, \] so ist klar, dass sowohl $\sum a$, als $\sum b$ unendlich sein m\"{u}ssen; denn w\"{a}ren beide endlich, so w\"{u}rde die Reihe auch nach Gleichmachung der Zeichen convergiren; w\"{a}re aber \emph{eine} unendlich, so w\"{u}rde die Reihe divergiren. Offenbar kann nun die Reihe durch geeignete Anordnung der Glieder einen beliebig gegebenen Werth~$C$ erhalten. Denn nimmt man abwechselnd so lange positive Glieder der Reihe, bis ihr Werth gr\"{o}sser als $C$ wird, und so lange negative, bis ihr Werth kleiner als $C$ wird, so wird die Abweichung von $C$ nie mehr betragen, als der Werth des dem letzten Zeichenwechsel voraufgehenden Gliedes. Da nun sowohl die Gr\"{o}ssen $a$, als die Gr\"{o}ssen $b$ mit wachsendem Index zuletzt unendlich klein werden, so werden auch die Abweichungen von $C$, wenn man in der Reihe nur hinreichend weit fortgeht, beliebig klein werden, d.~h.\ die Reihe wird gegen $C$ convergiren. Nur auf die Reihen erster Klasse sind die Gesetze endlicher Summen anwendbar; nur sie k\"{o}nnen wirklich als Inbegriff ihrer Glieder betrachtet werden, die Reihen der zweiten Klasse nicht; ein Umstand, welcher von den Mathematikern des vorigen Jahrhunderts \"{u}bersehen wurde, haupts\"{a}chlich wohl aus dem Grunde, weil die Reihen, welche nach steigenden Potenzen einer ver\"{a}nderlichen Gr\"{o}sse fortschreiten, allgemein zu reden (d.~h.\ einzelne Werthe dieser Gr\"{o}sse ausgenommen), zur ersten Klasse geh\"{o}ren. Die \emph{Fourier}'sche Reihe geh\"{o}rt nun offenbar nicht nothwendig zur ersten Klasse; ihre Convergenz konnte also gar nicht, wie \emph{Cauchy} vergeblich\footnote{Dirichlet in Crelle's Journal. Bd.~IV.\ pag.~158. Quoi qu'il en soit de cette premi\`{e}re observation,\dots\ \`{a} mesure que $n$ cro\^{i}t.} versucht hatte, aus dem Gesetze, nach welchem die Glieder abnehmen, abgeleitet werden. Es musste vielmehr gezeigt werden, dass die endliche Reihe \[ \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \sin \alpha \, d\alpha \sin x + \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \sin 2\alpha \, d\alpha \sin 2x + \cdots \] \[ + \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \sin n\alpha \, d\alpha \sin nx \] \[ + \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \, d\alpha + \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \cos \alpha \, d\alpha \cos x + \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \cos 2\alpha \, d\alpha \cos 2x + \cdots \] \[ + \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \cos n\alpha \, d\alpha \cos nx,\] oder, was dasselbe ist, das Integral \[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \frac{\displaystyle \sin \frac{2n + 1}{2} (x - \alpha)}{\displaystyle \sin \frac{x - \alpha}{2}} \, d \alpha \] sich, wenn $n$ in's Unendliche w\"{a}chst, dem Werthe $f(x)$ unendlich ann\"{a}hert. \emph{Dirichlet} st\"{u}tzt diesen Beweis auf die beiden S\"{a}tze: \begin{description} \item[\textmd{1)}] Wenn $0 < c \leq \frac{\pi}{2}$, n\"{a}hert sich $\displaystyle \int\limits_0^c \varphi(\beta) \frac{\sin (2n + 1) \beta}{\sin \beta} \, d\beta$ mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich dem Werth $\displaystyle \frac{\pi}{2} \varphi(0)$; \item[\textmd{2)}] wenn $0< b < c \leq \frac{\pi}{2}$, n\"{a}hert sich $\displaystyle \int\limits_b^c \varphi(\beta) \frac{\sin (2n + 1) \beta}{\sin \beta} \, d\beta$ mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich dem Werth~$0$, \end{description} vorausgesetzt, dass die Function $\varphi(\beta)$ zwischen den Grenzen dieser Integrale entweder immer abnimmt, oder immer zunimmt. Mit H\"{u}lfe dieser beiden S\"{a}tze l\"{a}sst sich, wenn die Function~$f$ nicht unendlich oft vom Zunehmen zum Abnehmen oder vom Abnehmen zum Zunehmen \"{u}bergeht, das Integral \[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha) \frac{\displaystyle \sin \frac{2n + 1}{2} (x - \alpha)}{\displaystyle \sin \frac{x - \alpha}{2}} \, d \alpha \] offenbar in eine \emph{endliche} Anzahl von Gliedern zerlegen, von denen eins\footnote{Es ist nicht schwer zu beweisen, dass der Werth einer Function~$f$, welche nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, stets, sowohl wenn der Argumentwerth abnehmend, als wenn er zunehmend gleich $x$ wird, entweder festen Grenzwerthen $f(x + 0)$ und $f(x - 0)$ (nach Dirichlet's Bezeichnung in Dove's Repertorium der Physik. Bd.~1.\ pag.~170) sich n\"{a}hern, oder unendlich gross werden m\"{u}sse.} gegen $\frac{1}{2} f(x + 0)$, ein anderes gegen $\frac{1}{2} f(x - 0)$, die \"{u}brigen aber gegen $0$ convergiren, wenn $n$ ins Unendliche w\"{a}chst. Hieraus folgt, dass durch eine trigonometrische Reihe jede sich nach dem Intervall $2\pi$ periodisch wiederholende Function darstellbar ist, welche 1) durchgehends eine Integration zul\"{a}sst, 2) nicht unendlich viele Maxima und Minima hat und 3) wo ihr Werth sich sprungweise \"{a}ndert, den Mittelwerth zwischen den beiderseitigen Grenzwerthen annimmt. Eine Function, welche die ersten beiden Eigenschaften hat, die dritte aber nicht, kann durch eine trigonometrische Reihe offenbar nicht dargestellt werden; denn die trigonometrische Reihe, die sie ausser den Unstetigkeiten darstellt, w\"{u}rde in den Unstetigkeitspunkten selbst von ihr abweichen. Ob und wann aber eine Function, welche die ersten beiden Bedingungen nicht erf\"{u}llt, durch eine trigonometrische Reihe darstellbar sei, bleibt durch diese Untersuchung unentschieden. Durch die Arbeit \emph{Dirichlet}'s ward einer grossen Menge wichtiger analytischer Untersuchungen eine feste Grundlage gegeben. Es war ihm gelungen, indem er den Punkt, wo \emph{Euler} irrte, in volles Licht brachte, eine Frage zu erledigen, die so viele ausgezeichnete Mathematiker seit mehr als siebzig Jahren (seit dem Jahre 1753) besch\"{a}ftigt hatte. In der That f\"{u}r alle F\"{a}lle der Natur, um welche es sich allein handelte, war sie vollkommen erledigt, denn so gross auch unsere Unwissenheit dar\"{u}ber ist, wie sich die Kr\"{a}fte und Zust\"{a}nde der Materie nach Ort und Zeit um Unendlichkleinen \"{a}ndern, so k\"{o}nnen wir doch sicher annehmen, dass die Functionen, auf welche sich die \emph{Dirichlet}'sche Untersuchung nicht erstreckt, in der Natur nicht vorkommen. Dessenungeachtet scheinen diese von \emph{Dirichlet} unerledigten F\"{a}lle aus einem zweifachen Grunde Beachtung zu verdienen. Erstlich steht, wie \emph{Dirichlet} selbst am Schluss seiner Abhandlung bemerkt, dieser Gegenstand mit den Principien der Infinitesimalrechnung in der engsten Verbindung und kann dazu dienen, diese Principien zu gr\"{o}sserer Klarheit und Bestimmtheit zu bringen. In dieser Beziehung hat die Behandlung desselben ein unmittelbares Interesse. Zweitens aber ist die Anwendbarkeit der \emph{Fourier}'schen Reihen nicht auf physikalische Untersuchungen beschr\"{a}nkt; sie ist jetzt auch in einem Gebiet der reinen Mathematik, der Zahlentheorie, mit Erfolg angewandt, und hier scheinen gerade diejenigen Functionen, deren Darstellbarkeit durch eine trigonometrische Reihe \emph{Dirichlet} nicht untersucht hat, von Wichtigkeit zu sein. Am Schlusse seiner Abhandlung verspricht freilich \emph{Dirichlet}, sp\"{a}ter auf diese F\"{a}lle zur\"{u}ckzukommen, aber dieses Versprechen ist bis jetzt unerf\"{u}llt geblieben. Auch die Arbeiten von \emph{Dirksen} und \emph{Bessel} \"{u}ber die Cosinus- und Sinusreihen leisten diese Erg\"{a}nzung nicht; sie stehen vielmehr der \emph{Dirichlet}'schen an Strenge und Allgemeinheit nach. Der mit ihr fast ganz gleichzeitige Aufsatz \emph{Dirksen}'s\footnote{Crelle's Journal. Bd.~IV.\ p.~170.}, welcher offenbar ohne Kenntniss derselben geschrieben ist, schl\"{a}gt zwar im Allgemeinen einen richtigen Weg ein, enth\"{a}lt aber im Einzelnen einige Ungenauigkeiten. Denn abgesehen davon, dass er in einem speciellen Falle\footnote{l.~c.\ Formel 22.} f\"{u}r die Summe der Reihe ein falsches Resultat findet, st\"{u}tzt er sich in einer Nebenbetrachtung auf eine nur in besonderen F\"{a}llen m\"{o}gliche Reihenentwicklung\footnote{l.~c.\ Art.~3.}, so dass sein Beweis nur f\"{u}r Functionen mit \"{u}berall endlichen ersten Differentialquotienten vollst\"{a}ndig ist. \emph{Bessel}\footnote{Schumacher. Astronomische Nachrichten. Nro.~374 (Bd.~16.\ p.~229)} sucht den \emph{Dirichlet}'schen Beweis zu vereinfachen. Aber die Aenderungen in diesem Beweise gew\"{a}hren keine wesentliche Vereinfachung in den Schl\"{u}ssen, sondern dienen h\"{o}chstens dazu, ihn in gel\"{a}ufigere Begriffe zu kleiden, w\"{a}hrend seine Strenge und Allgemeinheit betr\"{a}chtlich darunter leidet. Die Frage \"{u}ber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe ist also bis jetzt nur unter den beiden Voraussetzungen entschieden, dass die Function durchgehends eine Integration zul\"{a}sst und nicht unendlich viele Maxima und Minima hat. Wenn die letztere Voraussetzung nicht gemacht wird, so sind die beiden Integraltheoreme \emph{Dirichlet}'s zur Entscheidung der Frage unzul\"{a}nglich; wenn aber die erstere wegf\"{a}llt, so ist schon die \emph{Fourier}'sche Coefficientenbestimmung nicht anwendbar. Der im Folgenden, wo diese Frage ohne besondere Voraussetzungen \"{u}ber die Natur der Function untersucht werden soll, eingeschlagene Weg ist hierdurch, wie man sehen wird, bedingt; ein so directer Weg, wie der \emph{Dirichlet}'s, ist der Natur der Sache nach nicht m\"{o}glich. \begin{center} \large\bfseries Ueber den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner G\"{u}ltigkeit. \end{center} \centerline{4.} \nobreak\medskip Die Unbestimmtheit, welche noch in einigen Fundamentalpunkten der Lehre von den bestimmten Integralen herrscht, n\"{o}thigt uns, Einiges voraufzuschicken \"{u}ber den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner G\"{u}ltigkeit. Also zuerst: Was hat man unter $\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \, dx$ zu verstehen? Um dieses festzusetzen, nehmen wir zwischen $a$ und $b$ der Gr\"{o}sse nach auf einander folgend, eine Reihe von Werthen $x_1, x_2,\ldots, x_{n-1}$ an und bezeichnen der K\"{u}rze wegen $x_1 - a$ durch $\delta_1$, $x_2 - x_1$ durch $\delta_2,\ldots,$ $b - x_{n-1}$ durch $\delta_n$ und durch $\varepsilon$ einen positiven \"{a}chten Bruch. Es wird alsdann der Werth der Summe \begin{eqnarray*} S &=& \delta_1 f(a + \varepsilon_1 \delta_1) + \delta_2 f(x_1 + \varepsilon_2 \delta_2) + \delta_3 f(x_2 + \varepsilon_3 \delta_3) + \cdots \\ & & + \delta_n f(x_{n-1} + \varepsilon_n \delta_n) \end{eqnarray*} von der Wahl der Intervalle $\delta$ und der Gr\"{o}ssen $\varepsilon$ abh\"{a}ngen. Hat sie nun die Eigenschaft, wie auch $\delta$ und $\varepsilon$ gew\"{a}hlt werden m\"{o}gen, sich einer festen Grenze $A$ unendlich zu n\"{a}hern, sobald s\"{a}mmtliche $\delta$ unendlich klein werden, so heisst dieser Werth $\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \, dx$. Hat sie diese Eigenschaft nicht, so hat $\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \, dx$ keine Bedeutung. Man hat jedoch in mehreren F\"{a}llen versucht, diesem Zeichen auch dann eine Bedeutung beizulegen, und unter diesen Erweiterungen des Begriffs eines bestimmten Integrals ist \emph{eine} von allen Mathematikern angenommen. Wenn n\"{a}mlich die Function $f(x)$ bei Annaherung des Arguments an einen einzelnen Werth $c$ in dem Intervalle $(a,b)$ unendlich gross wird, so kann offenbar die Summe $S$, welchen Grad von Kleinheit man auch den $\delta$ vorschreiben m\"{o}ge, jeden beliebigen Werth erhalten; sie hat also keinen Grenzwerth, und $\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \, dx$ w\"{u}rde nach dem Obigen keine Bedeutung haben. Wenn aber alsdann \[ \int\limits_a^{c - \alpha_1} f(x) \, dx + \int\limits_{c + \alpha_2}^b f(x) \, dx \] sich, wenn $\alpha_1$ und $\alpha_2$ unendlich klein werden, einer festen Grenze n\"{a}hert, so versteht man unter $\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \, dx$ diesen Grenzerth. Andere Festsetzungen von \emph{Cauchy} \"{u}ber den Begriff des bestimmten Integrales in den F\"{a}llen, wo es dem Grundbegriffe nach ein solches nicht giebt, m\"{o}gen f\"{u}r einzelne Klassen von Untersuchungen zweckm\"{a}ssig sein; sie sind indess nicht allgemein eingef\"{u}hrt und dazu, schon wegen ihrer grossen Willk\"{u}rlichkeit, wohl kaum geeignet. \medbreak \centerline{5.} \nobreak\medskip Untersuchen wir jetzt zweitens den Umfang der G\"{u}ltigkeit dieses Begriffs oder die Frage: in welchen F\"{a}llen l\"{a}sst eine Function eine Integration zu und in welchen nicht? Wir betrachten zun\"{a}chst den Integralbegriff im engern Sinne, d.~h.\ wir setzen voraus, dass die Summe~$S$, wenn s\"{a}mmtliche $\delta$ unendlich klein werden, convergirt. Bezeichnen wir also die gr\"{o}sste Schwankung der Function zwischen $a$ und $x_1$, d.~h.\ den Unterschied ihres gr\"{o}ssten und kleinsten Werthes in diesem Intervalle, durch $D_1$, zwischen $x_1$ und $x_2$ durch $D_2\ldots$, zwischen $x_{n-1}$ und $b$ durch $D_n$, so muss \[ \delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \cdots + \delta_n D_n \] mit den Gr\"{o}ssen $\delta$ unendlich klein werden. Wir nehmen ferner an, dass, so lange s\"{a}mmtliche $\delta$ kleiner als $d$ bleiben, der gr\"{o}sste Werth, den diese Summe erhalten kann, $\Delta$ sei; $\Delta$ wird alsdann eine Function von $d$ sein, welche mit $d$ immer abnimmt und mit dieser Gr\"{o}sse unendlich klein wird. Ist nun die Gesammtgr\"{o}sse der Intervalle, in welchen die Schwankungen gr\"{o}sser als $\sigma$ sind, $= s$, so wird der Beitrag dieser Intervalle zur Summe $\delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \cdots + \delta_n D_n$ offenbar $\geq \sigma s$. Man hat daher \[ \sigma s \leq \delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \cdots + \delta_n D_n \leq \Delta, \mbox{ folglich } s \leq \frac{\Delta}{\sigma}.\] $\displaystyle \frac{\Delta}{\sigma}$ kann nun, wenn $\sigma$ gegeben ist, immer durch geeignete Wahl von $d$ beliebig klein gemacht werden; dasselbe gilt daher von $s$, und es ergiebt sich also: Damit die Summe $S$, wenn s\"{a}mmtliche $\delta$ unendlich klein werden, convergirt, ist ausser der Endlichkeit der Function $f(x)$ noch erforderlich, dass die Gesammtgr\"{o}sse der Intervalle, in welchen die Schwankungen $> \sigma$ sind, was auch $\sigma$ sei, durch geeignete Wahl von $d$ beliebig klein gemacht werden kann. Dieser Satz l\"{a}sst sich auch umkehren: Wenn die Function $f(x)$ immer endlich ist, und bei unendlichem Abnehmen s\"{a}mmtlicher Gr\"{o}ssen $\delta$ die Gesammtgr\"{o}sse $s$ der Intervalle, in welchen die Schwankungen der Function $f(x)$ gr\"{o}sser, als eine gegebene Gr\"{o}sse $\sigma$, sind, stets zuletzt unendlich klein wird, so convergirt die Summe~$S$, wenn s\"{a}mmtliche $\delta$ unendlich klein werden. Denn diejenigen Intervalle, in welchen die Schwankungen $> \sigma$ sind, liefern zur Summe $\delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \cdots + \delta_n D_n$ einen Beitrag, kleiner als $s$, multiplicirt in die gr\"{o}sste Schwankung der Function zwischen $a$ und $b$, welche (n.~V.) endlich ist; die \"{u}brigen Intervalle einen Beitrag $< \sigma (b - a)$. Offenbar kann man nun erst $\sigma$ beliebig klein annehmen und dann immer noch die Gr\"{o}sse der Intervalle (n.~V.) so bestimmen, dass auch $s$ beliebig klein wird, wodurch der Summe $\delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \cdots + \delta_n D_n$ jede beliebige Kleinheit gegeben, und folglich der Werth der Summe~$S$ in beliebig enge Grenzen eingeschlossen werden kann. Wir haben also Bedingungen gefunden, welche nothwendig und hinreichend sind, damit die Summe $S$ bei unendlichem Abnehmen der Gr\"{o}ssen $\delta$ convergire und also im engern Sinne von einem Integrale der Function $f(x)$ zwischen $a$ und $b$ die Rede sein k\"{o}nne. Wird nun der Integralbegriff wie oben erweitert, so ist offenbar, damit die Integration durchgehends m\"{o}glich sei, die letzte der beiden gefundenen Bedingungen auch dann noch nothwendig; an die Stelle der Bedingung, dass die Function immer endlich sei, aber tritt die Bedingung, dass die Function \emph{nur} bei Ann\"{a}herung des Arguments an \emph{einzelne} Werthe unendlich werde, und dass sich ein bestimmter Grenzwerth ergebe, wenn die Grenzen der Integration diesen Werthen unendlich gen\"{a}hert werden. \medbreak \centerline{6.} \nobreak\medskip Nachdem wir die Bedingungen f\"{u}r die M\"{o}glichkeit eines bestimmten Integrals im Allgemeinen d.~h.\ ohne besondere Voraussetzungen \"{u}ber die Natur der zu integrirenden Function, untersucht haben, soll nun diese Untersuchung in besondern F\"{a}llen theils angewandt, theils weiter ausgef\"{u}hrt werden, und zwar zun\"{a}chst f\"{u}r die Functionen, welche zwischen je zwei noch so engen Grenzen unendlich oft unstetig sind. Da diese Functionen noch nirgends betrachtet sind, wird es gut sein, von einem bestimmte Beispiele auszugehen. Man bezeichne der K\"{u}rze wegen durch $(x)$ den Ueberschuss von $x$ \"{u}ber die n\"{a}chste ganze Zahl, oder, wenn $x$ zwischen zweien in der Mitte liegt und diese Bestimmung zweideutig wird, den Mittelwerth aus den beiden Werthen $\frac{1}{2}$ und $-\frac{1}{2}$, also die Null, ferner durch $n$ eine ganze, durch $p$ eine ungerade Zahl und bilde alsdann die Reihe \[ f(x) = \frac{(x)}{1} + \frac{(2x)}{4} + \frac{(3x)}{9} + \cdots = \sum_{1,\infty} \frac{(nx)}{nn};\] so convergirt, wie leicht zu sehen, diese Reihe f\"{u}r jeden Werth von $x$; ihr Werth n\"{a}hert sich, sowohl, wenn der Argumentwerth stetig abnehmend, als wenn er stetig zunehmend gleich $x$ wird, stets einem festen Grenzwerth, und zwar ist, wenn $\displaystyle x = \frac{p}{2n}$ (wo $p$, $n$ relative Primzahlen) \begin{eqnarray*} f(x + 0) &=& f(x) - \frac{1}{2nn} (1 + {\textstyle\frac{1}{9}} + {\textstyle\frac{1}{25}} + \cdots ) = f(x) - \frac{\pi \pi}{16 n n},\\ f(x - 0) &=& f(x) + \frac{1}{2nn} (1 + {\textstyle\frac{1}{9}} + {\textstyle\frac{1}{25}} + \cdots ) = f(x) + \frac{\pi \pi}{16 n n}, \end{eqnarray*} sonst aber \"{u}berall $f(x + 0) = f(x)$, $f(x - 0) = f(x)$. Diese Function ist also f\"{u}r jeden rationalen Werth von $x$, der in den kleinsten Zahlen ausgedr\"{u}ckt ein Bruch mit geradem Nenner ist, unstetig, also zwischen je zwei noch so engen Grenzen unendlich oft, so jedoch, dass die Zahl der Spr\"{u}nge, welche gr\"{o}sser als eine gegebene Gr\"{o}sse sind, immer endlich ist. Sie l\"{a}sst durchgehends eine Integration zu. In der That gen\"{u}gen hierzu neben ihrer Endlichkeit die beiden Eigenschaften, dass sie f\"{u}r jeden Werth von $x$ beiderseits einen Grenzwerth $f(x + 0)$ und $f(x - 0)$ hat, und dass die Zahl der Spr\"{u}nge, welche gr\"{o}sser oder gleich einer gegebenen Gr\"{o}sse $\sigma$ sind, stets endlich ist. Denn wenden wir unsere obige Untersuchung an, so l\"{a}sst sich offenbar in Folge dieser beiden Umst\"{a}nde $d$ stets so klein annehmen, dass in s\"{a}mmtlichen Intervallen, welche diese Spr\"{u}nge nicht enthalten, die Schwankungen kleiner als $\sigma$ sind, und dass die Gesammtgr\"{o}sse der Intervalle, welche diese Spr\"{u}nge enthalten, beliebig klein wird. Es verdient bemerkt zu werden, dass die Functionen, welche nicht unendlich viele Maxima und Minima haben (zu welchen \"{u}brigens die eben betrachtete nicht geh\"{o}rt), wo sie nicht unendlich werden, stets diese beiden Eigenschaften besitzen und daher allenthalben, wo sie nicht unendlich werden, eine Integration zulassen, wie sich auch leicht direct zeigen l\"{a}sst. Um jetzt den Fall, wo die zu integrirende Function $f(x)$ f\"{u}r einen einzelnen Werth unendlich gross wird, n\"{a}her in Betracht zu ziehen, nehmen wir an, dass dies f\"{u}r $x = 0$ stattfinde, so dass bei abnehmendem positiven $x$ ihr Werth zuletzt \"{u}ber jede gegebene Grenze w\"{a}chst. Es l\"{a}sst sich dann leicht zeigen, dass $x f(x)$ bei abnehmendem $x$ von einer endlichen Grenze $a$ an, nicht fortw\"{a}hrend gr\"{o}sser als eine endliche Gr\"{o}sse $c$ bleiben k\"{o}nne. Denn dann w\"{a}re \[ \int\limits_x^a f(x) \, dx > c \int\limits_x^a \frac{dx}{x},\] also gr\"{o}sser als $\displaystyle c \left( \log \frac{1}{x} - \log \frac{1}{a} \right)$, welche Gr\"{o}sse mit abnehmendem $x$ zuletzt in's Unendliche w\"{a}chst. Es muss also $x f(x)$, wenn diese Function nicht in der N\"{a}he von $x = 0$ unendlich viele Maxima und Minima hat, nothwendig mit $x$ unendlich klein werden, damit $f(x)$ einer Integration f\"{a}hig sein k\"{o}nne. Wenn andererseits \[ f(x) x^\alpha = \frac{f(x) \, dx \, (1 - \alpha)}{d(x^{1 - \alpha})} \] bei einem Werth von $\alpha < 1$ mit $x$ unendlich klein wird, so ist klar, dass das Integral bei unendlichem Abnehmen der unteren Grenze convergirt. Ebenso findet man, dass im Falle der Convergenz des Integrals die Functionen \begin{eqnarray*} f(x) x \log \frac{1}{x} &=& \frac{f(x) \, dx}{\displaystyle - d \log \log \frac{1}{x}},\\ f(x) x \log \frac{1}{x} \log \log \frac{1}{x} &=& \frac{f(x) \, dx}{\displaystyle - d \log \log \log \frac{1}{x}} \ldots,\\ f(x) x \log \frac{1}{x} \log \log \frac{1}{x} \cdots \log^{n-1} \frac{1}{x} \log^n \frac{1}{x} &=& \frac{f(x) \, dx}{\displaystyle - d \log^{1+n} \frac{1}{x}} \end{eqnarray*} nicht bei abnehmendem $x$ von einer endlichen Grenze an fortw\"{a}hrend gr\"{o}sser als eine endliche Gr\"{o}sse bleiben k\"{o}nnen, und also, wenn sie nicht unendlich viele Maxima und Minima haben, mit $x$ unendlich klein werden m\"{u}ssen; dass dagegen das Integral $\int f(x) \, dx$ bei unendlichem Abnehmen der unteren Grenze convergire, sobald \[ f(x) x \log \frac{1}{x} \cdots \log^{n-1} \frac{1}{x} \left( \log^n \frac{1}{x} \right)^\alpha = \frac{f(x) \, dx \, (1 - \alpha)}{\displaystyle - d \left( \log^n \frac{1}{x} \right)^{1 - \alpha}} \] f\"{u}r $\alpha > 1$ mit $x$ unendlich klein wird. Hat aber die Function $f(x)$ unendlich viele Maxima und Minima, so l\"{a}sst sich \"{u}ber die Ordnung ihres Unendlichwerdens nichts bestimmen. In der That, nehmen wir an, die Function sei ihrem absoluten Werthe nach, wovon die Ordnung des Unendlichwerdens allein abh\"{a}ngt, gegeben, so wird man immer durch geeignete Bestimmung des Zeichens bewirken k\"{o}nnen, dass das Integral $\int f(x) \, dx$ bei unendlichem Abnehmen der unteren Grenze convergire. Als Beispiel einer solchen Function, welche unendlich wird und zwar so, dass ihre Ordnung (die Ordnung von $\displaystyle \frac{1}{x}$ als Einheit genommen) unendlich gross ist, mag die Function \[ \frac{\displaystyle d \left( x \cos e^{\frac{1}{x}} \right)}{dx} = \cos e^{\frac{1}{x}} + \frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} \sin e^{\frac{1}{x}} \] dienen. Das m\"{o}ge \"{u}ber diesen im Grunde in ein anderes Gebiet geh\"{o}rigen Gegenstand gen\"{u}gen; wir gehen jetzt an unsere eigentliche Aufgabe, eine allgemeine Untersuchung \"{u}ber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe. \newpage \begin{center} \large\bfseries Untersuchung der Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe ohne besondere Voraussetzungen \"{u}ber die Natur der Function. \end{center} \centerline{7.} \nobreak\medskip Die bisherigen Arbeiten \"{u}ber diesen Gegenstand hatten den Zweck, die \emph{Fourier}'sche Reihe f\"{u}r die in der Natur vorkommenden F\"{a}lle zu beweisen; es konnte daher der Beweis f\"{u}r eine ganz willk\"{u}rlich angenommene Function begonnen, und sp\"{a}ter der Gang der Function behufs des Beweises willk\"{u}rlichen Beschr\"{a}nkungen unterworfen werden, wenn sie nur jenen Zweck nicht beeintr\"{a}chtigten. F\"{u}r unsern Zweck darf darselbe nur den zur Darstellbarkeit der Function nothwendigen Bedingungen unterworfen werden; es m\"{u}ssen daher zun\"{a}chst zur Darstellbarkeit nothwendige Bedingungen aufgesucht und aus diesen dann zur Darstellbarkeit hinreichende ausgew\"{a}hlt werden. W\"{a}hrend also die bisherigen Arbeiten zeigten: wenn eine Function diese und jene Eigenschaften hat, so ist sie durch die \emph{Fourier}'sche Reihe darstellbar; m\"{u}ssen wir von der umgekehrten Frage ausgehen: Wenn eine Function durch eine trigonometrische Reihe darstellbar ist, was folgt daraus \"{u}ber ihren Gang, \"{u}ber die Aenderung ihres Werthes bei stetiger Aenderung des Arguments? Demnach betrachten wir die Reihe \[ \begin{array}{r} a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + \cdots \\ + {\textstyle\frac{1}{2}} b_0 + b_1 \cos x + b_2 \cos 2x + \cdots \end{array} \] oder, wenn wir der K\"{u}rze wegen \[ {\textstyle\frac{1}{2}} b_0 = A_0,\quad a_1 \sin x + b_1 \cos x = A_1,\quad a_2 \sin 2x + b_2 \cos 2x = A_2,\cdots \] setzen, die Reihe \[ A_0 + A_1 + A_2+ \cdots \] als gegeben. Wir bezeichnen diesen Ausdruck durch $\Omega$ und seinen Werth durch $f(x)$, so dass diese Function nur f\"{u}r diejenigen Werthe von $x$ vorhanden ist, wo die Reihe convergirt. Zur Convergenz einer Reihe ist nothwendig, dass ihre Glieder zuletzt unendlich klein werden. Wenn die Coefficienten $a_n$, $b_n$ mit wachsendem $n$ in's Unendliche abnehmen, so werden die Glieder der Reihe $\Omega$ f\"{u}r jeden Werth von $x$ zuletzt unendlich klein; andernfalls kann dies nur f\"{u}r besondere Werthe von $x$ stattfinden. Es ist n\"{o}thig, beide F\"{a}lle getrennt zu behandeln. \medbreak \centerline{8.} \nobreak\medskip Wir setzen also zun\"{a}chst voraus, dass die Glieder der Reihe $\Omega$ f\"{u}r jeden Werth von $x$ zuletzt unendlich klein werden. Unter dieser Voraussetzung convergirt die Reihe \[ C +C' x + A_0 \frac{xx}{2} - A_1 - \frac{A_2}{4} - \frac{A_3}{9} \dots = F(x),\] welche man aus $\Omega$ durch zweimalige Integration jedes Gliedes nach $x$ erh\"{a}lt, f\"{u}r jeden Werth von $x$. Ihr Werth $F(x)$ \"{a}ndert sich mit $x$ stetig, und diese Function $F$ von $x$ l\"{a}sst folglich allenthalben eine Integration zu. Um beides---die Convergenz der Reihe und die Stetigkeit der Function $F(x)$---einzusehen, bezeichne man die Summe der Glieder bis $\displaystyle - \frac{A_n}{nn}$ einschliesslich durch $N$, den Rest der Reihe, d.~h.\ die Reihe \[ - \frac{A_{n+1}}{(n+1)^2} - \frac{A_{n+2}}{(n+2)^2} - \cdots \] durch $R$ und den gr\"{o}ssten Werth von $A_m$ f\"{u}r $m > n$ durch $\varepsilon$. Alsdann bleibt der Werth von $R$, wie weit man diese Reihe fortsetzen m\"{o}ge, offenbar abgesehen vom Zeichen \[ < \varepsilon \left( \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \cdots \right) < \frac{\varepsilon}{n} \] und kann also in beliebig kleine Grenzen eingeschlossen werden, wenn man $n$ nur hinreichend gross annimmt; folglich convergirt die Reihe. Ferner ist die Function $F(x)$ stetig; d.~h.\ ihrer Aenderung kann jede Kleinheit gegeben werden, wenn man der entsprechenden Aenderung von $x$ eine hinreichende Kleinheit vorschreibt. Denn die Aenderung von $F(x)$ setzt sich zusammen aus der Aenderung von $R$ und von $N$; offenbar kann man nun erst $n$ so gross annehmen, dass $R$, was auch $x$ sei, und folglich auch die Aenderung von $R$ f\"{u}r jede Aenderung von $x$ beliebig klein wird, und dann die Aenderung von $x$ so klein annehmen, dass auch die Aenderung von $N$ beliebig klein wird. Es wird gut sein, einige S\"{a}tze \"{u}ber diese Function $F(x)$, deren Beweise den Faden der Untersuchung unterbrechen w\"{u}rden, voraufzuschicken. \medbreak Lehrsatz~1. Falls die Reihe $\Omega$ convergirt, convergirt \[ \frac{ F(x + \alpha + \beta) - F(x + \alpha - \beta) - F(x - \alpha + \beta) + F(x - \alpha - \beta) }{4 \alpha \beta} \] wenn $\alpha$ und $\beta$ so unendlich klein werden, dass ihr Verh\"{a}ltniss endlich bleibt, gegen denselben Werth wie die Reihe. In der That wird \[ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{ F(x + \alpha + \beta) - F(x + \alpha - \beta) - F(x - \alpha + \beta) + F(x - \alpha - \beta) }{4 \alpha \beta} \\[12pt] \displaystyle = A_0 + A_1 \frac{\sin \alpha}{\alpha} \frac{\sin \beta}{\beta} + A_2 \frac{\sin 2\alpha}{2\alpha} \frac{\sin 2\beta}{2\beta} + A_3 \frac{\sin 3\alpha}{3\alpha} \frac{\sin 3\beta}{3\beta} + \cdots \end{array} \] oder, um den einfacheren Fall, wo $\beta = \alpha$, zuerst zu erledigen, \[ \frac{F(x + 2 \alpha) - 2 F(x) + F(x - 2 \alpha)}{4 \alpha \alpha} = A_0 + A_1 \left( \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2 + A_2 \left( \frac{\sin 2\alpha}{2\alpha} \right)^2 + \cdots \] Ist die unendliche Reihe \[ A_0 + A_1 + A_2 + \cdots = f(x),\] die Reihe \[ A_0 + A_1 + A_2 + \cdots + A_{n-1} = f(x) + \varepsilon_n,\] so muss sich f\"{u}r eine beliebig gegebene Gr\"{o}sse $\delta$ ein Werth $m$ von $n$ angeben lassen, so dass, wenn $n > m$, $\varepsilon_n < \delta$ wird. Nehmen wir nun $\alpha$ so klein an, dass $m\alpha < \pi$, setzen wir mittelst der Substitution \[ A_n = \varepsilon_{n+1} - \varepsilon_n,\] $\displaystyle \sum_{0, \infty} \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2 A_n$ in die Form \[ f(x) + \sum_{1,\infty} \varepsilon_n \left\{ \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{(n-1)\alpha} \right)^2 - \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2 \right\},\] und theilen wir diese letztere unendliche Reihe in drei Theile, indem wir \begin{description} \item[\textmd{1)}] die Glieder vom Index~$1$ bis $m$ einschliesslich, \item[\textmd{2)}] vom Index $m + 1$ bis zur gr\"{o}ssten unter $\displaystyle \frac{\pi}{\alpha}$ liegenden ganzen Zahl, welche $s$ sei, \item[\textmd{3)}] von $s + 1$ bis unendlich, \end{description} zusammenfassen, so besteht der erste Theil aus einer endlichen Anzahl stetig sich \"{a}ndernder Gleider und kann daher seinem Grenzwerth $0$ beliebig gen\"{a}hert werden, wenn man $\alpha$ hinreichend klein werden l\"{a}sst; der zweite Theil ist, da der Factor von $\varepsilon_n$ best\"{a}ndig positiv ist, offenbar abgesehen vom Zeichen \[ < \delta \left\{ \left( \frac{\sin m\alpha}{m\alpha} \right)^2 - \left( \frac{\sin s\alpha}{s\alpha} \right)^2 \right\};\] um endlich den dritten Theil in Grenzen einzuschliessen, zerlege man das allgemeine Glied in \[ \varepsilon_n \left\{ \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{(n-1)\alpha} \right)^2 - \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{n\alpha} \right)^2 \right\} \] und \[ \varepsilon_n \left\{ \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{n\alpha} \right)^2 - \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2 \right\} = - \varepsilon_n \frac{\sin (2n - 1)\alpha \, \sin \alpha}{(n\alpha)^2};\] so leuchtet ein, dass es \[ < \delta \left\{ \frac{1}{(n-1)^2 \alpha \alpha} - \frac{1}{nn \alpha \alpha} \right\} + \delta \frac{1}{nn \alpha} \] und folglich die Summe von $n = s + 1$ bis $n = \infty$ \[ < \delta \left\{ \frac{1}{(s\alpha)^2} + \frac{1}{s\alpha} \right\},\] welcher Werth f\"{u}r ein unendlich kleines $\alpha$ in \[ \delta \left\{ \frac{1}{\pi \pi} + \frac{1}{\pi} \right\} \mbox{ \"{u}bergeht.} \] Die Reihe \[ \sum \varepsilon_n \left\{ \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{(n-1)\alpha} \right)^2 - \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2 \right\},\] n\"{a}hert sich daher mit abnehmendem $\alpha$ einem Grenzwerth, der nicht gr\"{o}sser als \[ \delta \left\{ 1 + \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi \pi} \right\} \] sein kann, also Null sein muss, und folglich convergirt \[ \frac{F(x + 2 \alpha) - 2 F(x) + F(x - 2 \alpha)}{4 \alpha \alpha},\] welches \[ = f(x) + \sum \varepsilon_n \left\{ \left( \frac{\sin (n-1)\alpha}{(n-1)\alpha} \right)^2 - \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2 \right\},\] mit in's Unendliche abnehmendem $\alpha$ gegen $f(x)$, wodurch unser Satz f\"{u}r den Fall $\beta = \alpha$ bewiesen ist. Um ihn allgemein zu beweisen, sei \begin{eqnarray*} F(x + \alpha + \beta) - 2 F(x) + F(x - \alpha - \beta) &=& (\alpha + \beta)^2 (f(x) + \delta_1) \\ F(x + \alpha - \beta) - 2 F(x) + F(x - \alpha + \beta) &=& (\alpha - \beta)^2 (f(x) + \delta_2), \end{eqnarray*} woraus \[ \begin{array}{l} F(x + \alpha + \beta) - F(x + \alpha - \beta) - F(x - \alpha + \beta) + F(x - \alpha - \beta) \\ \qquad = 4 \alpha \beta f(x) + (\alpha + \beta)^2 \delta_1 - (\alpha - \beta)^2 \delta_2. \end{array} \] In Folge des eben Bewiesenen werden nun $\delta_1$ und $\delta_2$ unendlich klein, sobald $\alpha$ und $\beta$ unendlich klein werden; es wird also auch \[ \frac{(\alpha + \beta)^2}{4 \alpha \beta} \delta_1 - \frac{(\alpha - \beta)^2}{4 \alpha \beta} \delta_2 \] unendlich klein, wenn dabei die Coefficienten von $\delta_1$ und $\delta_2$ nicht unendlich gross werden, was nicht stattfindet, wenn zugleich $\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$ endlich bleibt; und folglich convergirt alsdann \[ \frac{ F(x + \alpha + \beta) - F(x + \alpha - \beta) - F(x - \alpha + \beta) + F(x - \alpha - \beta) }{4 \alpha \beta} \] gegen $f(x)$, w.~z.~b.~w. \medbreak Lehrsatz~2. \[ \frac{F(x + 2\alpha) + F(x - 2\alpha) - 2 F(x)}{2\alpha} \] wird stets mit $\alpha$ unendlich klein. Um dieses zu beweisen, theile man die Reihe \[ \sum A_n \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2 \] in drei Gruppen, von welchen die erste alle Glieder bis zu einem festen Index $m$ enth\"{a}lt, von dem an $A_n$ immer kleiner als $\varepsilon$ bleibt, die zweite alle folgenden Glieder, f\"{u}r welche $n\alpha \leq$ als eine feste Gr\"{o}sse $c$ ist, die dritte den Rest der Reihe umfasst. Es ist dann leicht zu sehen, dass, wenn $\alpha$ in's Unendliche abnimmt, die Summe der ersten endlichen Gruppe endlich bleibt, d.~h.\ $<$ eine feste Gr\"{o}sse $Q$; die der zweiten $\displaystyle < \varepsilon \frac{c}{\alpha}$, die der dritten \[ < \varepsilon \sum_{c < n\alpha} \frac{1}{nn \alpha \alpha} < \frac{\varepsilon}{\alpha c}.\] Folglich bleibt \[ \frac{F(x + 2\alpha) + F(x - 2\alpha) - 2 F(x)}{2\alpha}, \mbox{ welches } = 2 \alpha \sum A_n \left( \frac{\sin n\alpha}{n\alpha} \right)^2,\] \[ < 2 \left( Q\alpha + \varepsilon \left(c + \frac{1}{c} \right) \right),\] woraus der z.~b. Satz folgt. \medbreak Lehrsatz~3. Bezeichnet man durch $b$ und $c$ zwei beliebige Constanten, die gr\"{o}ssere durch $c$, und durch $\lambda(x)$ eine Function, welche nebst ihrem ersten Differentialquotienten zwischen $b$ und $c$ immer stetig ist und an den Grenzen gleich Null wird, und von welcher der zweiter Differentialquotient nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, so wird das Integral \[ \mu \mu \int\limits_b^c F(x) \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx,\] wenn $\mu$ in's Unendliche w\"{a}chst, zuletzt kleiner als jede gegebene Gr\"{o}sse. Setzt man f\"{u}r $F(x)$ seinen Ausdruck durch die Reihe, so erh\"{a}lt man f\"{u}r \[ \mu \mu \int\limits_b^c F(x) \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx \] die Reihe ($\Phi$) \[ \begin{array}{l} \displaystyle \mu \mu \int\limits_b^c \left( C + C'x + A_0 \frac{xx}{2} \right) \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx \\ \displaystyle \quad - \sum_{1,\infty} \frac{\mu \mu}{n n} \int\limits_b^c A_n \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx. \end{array} \] Nun l\"{a}sst sich $A_n \cos \mu (x - a)$ offenbar als ein Aggregat von \[ \cos (\mu + n)(x - a),\enspace \sin (\mu + n)(x - a),\enspace \cos (\mu - n)(x - a),\enspace \sin (\mu - n)(x - a) \] ausdr\"{u}cken, und bezeichnet man in demselben die Summe der beiden ersten Glieder durch $B_{\mu + n}$, die Summe der beiden letzten Glieder durch $B_{\mu - n}$, so hat man $\cos \mu (x - a) A_n = B_{\mu + n} + B_{\mu - n}$, \[ \frac{d^2 B_{\mu + n}}{dx^2} = - (\mu + n)^2 B_{\mu + n},\quad \frac{d^2 B_{\mu - n}}{dx^2} = - (\mu - n)^2 B_{\mu - n},\] und es werden $B_{\mu + n}$ und $B_{\mu - n}$ mit wachsendem $n$, was auch $x$ sei, zuletzt unendlich klein. Das allgemeine Glied der Reihe ($\Phi$) \[ - \frac{\mu \mu}{nn} \int\limits_b^c A_n \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx \] wird daher \[ = \frac{\mu^2}{n^2(\mu + n)^2} \int\limits_b^c \frac{d^2 B_{\mu + n}}{dx^2} \lambda(x) \, dx + \frac{\mu^2}{n^2(\mu - n)^2} \int\limits_b^c \frac{d^2 B_{\mu - n}}{dx^2} \lambda(x) \, dx,\] oder durch zweimalige partielle Integration, indem man zuerst $\lambda(x)$, dann $\lambda'(x)$ als constant betrachtet, \[ = \frac{\mu^2}{n^2(\mu + n)^2} \int\limits_b^c B_{\mu + n} \lambda''(x) \, dx + \frac{\mu^2}{n^2(\mu - n)^2} \int\limits_b^c B_{\mu - n} \lambda''(x) \, dx,\] da $\lambda(x)$ und $\lambda'(x)$ und daher auch die aus dem Integralzeichen tretenden Glieder an den Grenzen $= 0$ werden. Man \"{u}berzeugt sich nun leicht, dass $\displaystyle \int\limits_b^c B_{\mu \pm n} \lambda''(x) \, dx$, wenn $\mu$ in's Unendliche w\"{a}chst, was auch $n$ sei, unendlich klein wird; denn dieser Ausdruck ist gleich einem Aggregat der Integrale \[ \int\limits_b^c \cos (\mu \pm n) (x - a) \, \lambda''(x) \, dx,\quad \int\limits_b^c \sin (\mu \pm n) (x - a) \, \lambda''(x) \, dx,\] und wenn $\mu \pm n$ unendlich gross wird, so werden diese Integrale, wenn aber nicht, weil dann $n$ unendlich gross wird, ihre Coefficienten in diesem Ausdrucke unendlich klein. Zum Beweise unseres Satzes gen\"{u}gt es daher offenbar, wenn von der Summe \[ \sum \frac{\mu^2}{(\mu - n)^2 n^2} \] \"{u}ber alle ganzen Werthe von $n$ ausgedehnt, welche den Bedingungen $n < -c'$, $c'' < n < \mu - c'''$, $\mu + c^{\rm IV} < n$ gen\"{u}gen, f\"{u}r irgend welche positive Werthe der Gr\"{o}ssen $c$ gezeigt wird, dass sie, wenn $\mu$ unendlich gross wird, endlich bleibt. Denn abgesehen von den Gliedern, f\"{u}r welche $-c' < n < c''$, $\mu - c''' < n < \mu + c^{\rm IV}$, welche offenbar unendlich klein werden und von endlicher Anzahl sind, bleibt die Reihe ($\Phi$) offenbar kleiner als diese Summe, multiplicirt mit dem gr\"{o}ssten Werthe von $\displaystyle \int\limits_b^c B_{\mu \pm n} \lambda''(x) \, dx$, welcher unendlich klein wird. Nun ist aber, wenn die Gr\"{o}ssen $c > 1$ sind, die Summe \[ \sum \frac{\mu^2}{(\mu - n)^2 n^2} = \frac{1}{\mu} \sum \frac{\displaystyle \frac{1}{\mu}}{\displaystyle \left( 1 - \frac{n}{\mu} \right)^2 \left( \frac{n}{\mu} \right)^2},\] in den obigen Grenzen, kleiner als \[ \frac{1}{\mu} \int \frac{dx}{(1 - x)^2 x^2},\] ausgedehnt von \[ - \infty \mbox{ bis } - \frac{c' - 1}{\mu},\quad \frac{c'' - 1}{\mu} \mbox{ bis } 1 - \frac{c''' - 1}{\mu},\quad 1 + \frac{c^{\rm IV} - 1}{\mu} \mbox{ bis } \infty;\] denn zerlegt man das ganze Intervall von $-\infty$ bis $+\infty$ von Null anfangend in Intervalle von der Gr\"{o}sse $\displaystyle \frac{1}{\mu}$, und ersetzt man \"{u}berall die Function unter dem Integralzeichen durch den kleinsten Werth in jedem Intervall, so erh\"{a}lt man, da diese Function zwischen den Integrationsgrenzen nirgends ein Maximum hat, s\"{a}mmtliche Glieder der Reihe. F\"{u}hrt man die Integration aus, so erh\"{a}lt man \[ \frac{1}{\mu} \int \frac{dx}{x^2 (1 - x)^2} = \frac{1}{\mu} \left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} + 2 \log x - 2 \log (1 - x) \right) + \mbox{const.}\] und folglich zwischen den obigen Grenzen einen Werth, der mit $\mu$ nicht unendlich gross wird. \medbreak \centerline{9.} \nobreak\medskip Mit H\"{u}lfe dieser S\"{a}tze l\"{a}sst sich \"{u}ber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, deren Glieder f\"{u}r jeden Argumentwerth zuletzt unendlich klein werden, Folgendes feststellen: I. Wenn eine nach dem Intervall $2\pi$ periodisch sich wiederholende Function $f(x)$ durch eine trigonometrische Reihe, deren Glieder f\"{u}r jeden Werth von $x$ zuletzt unendlich klein werden, darstellbar sein soll, so muss es eine stetige Function $F(x)$ geben, von welcher $f(x)$ so abh\"{a}ngt, dass \[ \frac{ F(x + \alpha + \beta) - F(x + \alpha - \beta) - F(x - \alpha + \beta) + F(x - \alpha - \beta) }{4 \alpha \beta},\] wenn $\alpha$ und $\beta$ unendlich klein werden und dabei ihr Verh\"{a}ltniss endlich bleibt, gegen $f(x)$ convergirt. Es muss ferner \[ \mu \mu \int\limits_b^c F(x) \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx,\] wenn $\lambda(x)$ und $\lambda'(x)$ an den Grenzen des Integrals $= 0$ und zwischen denselben immer stetig sind und $\lambda''(x)$ nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, mit wachsendem $\mu$ zuletzt unendlich klein werden. II. Wenn umgekehrt diese beiden Bedingungen erf\"{u}llt sind, so giebt es eine trigonometrische Reihe, in welcher die Coefficienten zuletzt unendlich klein werden, und welche \"{u}berall, wo sie convergirt, die Function darstellt. Denn bestimmt man die Gr\"{o}ssen $C'$, $A_0$ so, dass \[ F(x) - C'x - A_0 \frac{xx}{2} \] eine nach dem Intervall $2\pi$ periodisch wiederkehrende Function ist und entwickelt diese nach \emph{Fourier}'s Methode in die trigonometrische Reihe \[ C - \frac{A_1}{1} - \frac{A_2}{4} - \frac{A_3}{9} - \cdots,\] indem man \[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right) \, dt = C,\] \[ \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right) \cos n (x - t) \, dt = - \frac{A_n}{nn} \] setzt, so muss (n.~V.) \[ A_n = - \frac{nn}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right) \cos n (x - t) \, dt \] mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein werden; woraus nach Satz~1 des vorigen Art.\ folgt, dass die Reihe \[ A_0 + A_1 + A_2 + \cdots \] \"{u}berall, wo sie convergirt, gegen $f(x)$ convergirt. III. Es sei $b < x < c$, und $\varrho(t)$ eine solche Function, dass $\varrho(t)$ und $\varrho'(t)$ f\"{u}r $t = b$ und $t = c$ den Werth $0$ haben und zwischen diesen Werthen stetig sich \"{a}ndern, $\varrho''(t)$ nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, und dass ferner f\"{u}r $t = x$ $\varrho(t) = 1$, $\varrho'(t) = 0$, $\varrho''(t) = 0$, $\varrho'''(t)$ und $\varrho^{\rm IV}(t)$ aber endlich und stetig sind; so wird der Unterschied zwischen der Reihe \[ A_0 + A_1 + \cdots + A_n \] und dem Integral \[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_b^c F(t) \frac{\displaystyle dd \frac{\displaystyle \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle \sin \frac{(x-t)}{2}}}{dt^2} \varrho(t) \, dt \] mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein. Die Reihe \[ A_0 + A_1 + A_2 + \cdots \] wird daher convergiren oder nicht convergiren, je nachdem \[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_b^c F(t) \frac{\displaystyle dd \frac{\displaystyle \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2} \varrho(t) \, dt \] sich mit wachsendem $n$ zuletzt einer festen Grenze n\"{a}hert oder dies nicht stattfindet. In der That wird \[ A_0 + A_1 + \cdots + A_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right) \sum_{1,n} - n n \cos n(x-t) \, dt,\] oder, da \[ 2 \sum_{1,n} - n n \cos n(x-t) = 2 \sum_{1,n} \frac{d^2 \cos n(x-t)}{dt^2} = \frac{\displaystyle dd \frac{\displaystyle \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2} \] ist, \[ = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right) \frac{\displaystyle dd \frac{\displaystyle \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2} \, dt.\] Nun wird aber nach Satz~3 des vorigen Art. \[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right) \frac{\displaystyle dd \frac{\displaystyle \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2} \lambda(t) \, dt \] bei unendlichem Zunehmen von $n$ unendlich klein, wenn $\lambda(t)$ nebst ihrem ersten Differentialquotienten stetig ist, $\lambda''(t)$ nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, und f\"{u}r $t = x$ $\lambda(t) = 0$, $\lambda'(t) = 0$, $\lambda''(t) = 0$, $\lambda'''(t)$ und $\lambda^{\rm IV}(t)$ aber endlich und stetig sind. Setzt man hierin $\lambda(t)$ ausserhalb der Grenzen $b$, $c$ gleich $1$ und zwischen diesen Grenzen $= 1 - \varrho(t)$, was offenbar verstattet ist, so folgt, dass die Differenz zwischen der Reihe $A_1 + \cdots + A_n$ und dem Integral \[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_b^c \left( F(t) - C't - A_0 \frac{tt}{2} \right) \frac{\displaystyle dd \frac{\displaystyle \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2} \varrho(t) \, dt \] mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein wird. Man \"{u}berzeugt sich aber leicht durch partielle Integration, dass \[ \frac{1}{2\pi} \int\limits_b^c \left( C't + A_0 \frac{tt}{2} \right) \frac{\displaystyle dd \frac{\displaystyle \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle \sin \frac{x-t}{2}}}{dt^2} \varrho(t) \, dt \] wenn $n$ unendlich gross wird, gegen $A_0$ convergirt, wodurch man obigen Satz erh\"{a}lt. \medbreak \centerline{10.} \nobreak\medskip Aus dieser Untersuchung hat sich also ergeben, dass, wenn die Coefficienten der Reihe $\Omega$ zuletzt unendlich klein werden, dann die Convergenz der Reihe f\"{u}r einen bestimmten Werth von $x$ nur abh\"{a}ngt von dem Verhalten der Function $f(x)$ in unmittelbarer N\"{a}he dieses Werthes. Ob nun die Coefficienten der Reihe zuletzt unendlich klein werden, wird in vielen F\"{a}llen nicht aus ihrem Ausdrucke durch bestimmte Integrale, sondern auf anderm Wege entschieden werden m\"{u}ssen. Es verdient indess \emph{ein} Fall hervorgehoben zu werden, wo sich dies unmittelbar aus der Natur der Function entscheiden l\"{a}sst, wenn n\"{a}mlich die Function $f(x)$ durchgehends endlich bleibt und eine Integration zul\"{a}sst. In diesem Falle muss, wenn man das ganze Intervall von $-\pi$ bis $\pi$ der Reihe nach in St\"{u}cke von der Gr\"{o}sse $\delta_1, \delta_2, \delta_3,\ldots$ zerlegt, und durch $D_1$ die gr\"{o}sste Schwankung der Function im ersten, durch $D_2$ im zweiten, u.~s.~w.\ bezeichnet, \[ \delta_1 D_1 + \delta_2 D_2 + \delta_3 D_3 + \cdots \] unendlich klein werden, sobald s\"{a}mmtliche $\delta$ unendlich klein werden. Zerlegt man aber das Integral $\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \sin n (x - a) \, dx$, in welcher Form von dem Factor $\displaystyle \frac{1}{\pi}$ abgesehen die Coefficienten der Reihe enthalten sind, oder was dasselbe ist, $\displaystyle \int\limits_a^{a + 2\pi} f(x) \sin n (x - a) \, dx$ von $x = a$ anfangend in Integrale vom Umfange $\displaystyle {2\pi \over n}$, so liefert jedes derselben zur Summe einen Beitrag kleiner als $\displaystyle {2 \over n}$, multiplicirt mit der gr\"{o}ssten Schwankung in seinem Intervall, und ihre Summe ist also kleiner als eine Gr\"{o}sse, welche n.~V.\ mit $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ unendlich klein werden muss. In der That: diese Integrale haben die Form \[ \int\limits_{a + \frac{s}{n} 2 \pi}^{a + \frac{s+1}{n} 2\pi} f(x) \sin n (x - a) \, dx.\] Der Sinus wird in der ersten H\"{a}lfte positiv, in der zweiten negativ. Bezeichnet man also den gr\"{o}ssten Werth von $f(x)$ in dem Intervall des Integrals durch $M$, den kleinsten durch $m$, so ist einleuchtend, dass man das Integral vergr\"{o}ssert, wenn man in der ersten H\"{a}lfte $f(x)$ durch $M$, in der zweiten durch $m$ ersetzt, dass man aber das Integral verkleinert, wenn man in der ersten H\"{a}lfte $f(x)$ durch $m$ und in der zweiten durch $M$ ersetzt. Im ersteren Falle aber erh\"{a}lt man den Werth $\displaystyle \frac{2}{n} (M - m)$, im letzteren $\displaystyle \frac{2}{n} (m - M)$. Es ist daher dies Integral abgesehen vom Zeichen kleiner als $\displaystyle \frac{2}{n} (M - m)$ und das Integral \[ \int\limits_a^{a + 2\pi} f(x) \sin n(x - a) \, dx\] kleiner als \[ \frac{2}{n} (M_1 - m_1) +\frac{2}{n} (M_2 - m_2) + \frac{2}{n} (M_3 - m_3) + \cdots,\] wenn man durch $M_s$ den gr\"{o}ssten, durch $m_s$ den kleinsten Werth von $f(x)$ im $s \,$\-ten Intervall bezeichnet; diese Summe aber muss, wenn $f(x)$ einer Integration f\"{a}hig ist, unendlich klein werden, sobald $n$ unendlich gross und also der Umfang der Intervalle $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ unendlich klein wird. In dem vorausgesetzten Falle werden daher die Coefficienten der Reihe unendlich klein. \medbreak \centerline{11.} \nobreak\medskip Es bleibt nun noch der Fall zu untersuchen, wo die Glieder der Reihe $\Omega$ f\"{u}r den Argumentwerth $x$ zuletzt unendlich klein werden, ohne dass dies f\"{u}r jeden Argumentwerth stattfindet. Dieser Fall l\"{a}sst sich auf den vorigen zur\"{u}ckf\"{u}hren. Wenn man n\"{a}mlich in den Reihen f\"{u}r den Argumentwerth $x + t$ und $x - t$ die Glieder gleichen Ranges addirt, so erh\"{a}lt man die Reihe \[ 2 A_0 + 2 A_1 \cos t + 2 A_2 \cos 2t + \cdots,\] in welcher die Glieder f\"{u}r jeden Werth von $t$ zuletzt unendlich klein werden und auf welche also die vorige Untersuchung angewandt werden kann. Bezeichnet man zu diesem Ende den Werth der unendlichen Reihe \[ C + C' x + A_0 \frac{xx}{2} + A_0 \frac{tt}{2} - A_1 \frac{\cos t}{1} - A_2 \frac{\cos 2t}{4} - A_3 \frac{\cos 3t}{9} - \cdots \] durth $G(t)$, so dass $\displaystyle \frac{F(x + t) + F(x - t)}{2}$ \"{u}berall, wo die Reihen f\"{u}r $F(x + t)$ und $F(x - t)$ convergiren, $= G(t)$ ist, so ergiebt sich Folgendes: I. Wenn die Glieder der Reihe $\Omega$ f\"{u}r den Argumentwerth $x$ zuletzt unendlich klein werden, so muss \[ \mu \mu \int\limits_b^c G(t) \cos \mu (t - a) \, \lambda(t) \, dt,\] wenn $\lambda$ eine Function wie oben---Art.~9---bezeichnet, mit wachsendem $\mu$ zuletzt unendlich klein werden. Der Werth dieses Integrals setzt sich zusammen aus den beiden Bestandtheilen $\displaystyle \mu \mu \int\limits_b^c \frac{F(x + t)}{2} \cos \mu (t - a) \, \lambda(t) \, dt$ und $\displaystyle \mu \mu \int\limits_b^c \frac{F(x - t)}{2} \cos \mu (t - a) \, \lambda(t) \, dt$, wofern diese Ausdr\"{u}cke einen Werth haben. Das Unendlichkleinwerden desselben wird daher bewirkt durch das Verhalten der Function $F$ an zwei symmetrisch zu beiden Seiten von $x$ gelegenen Stellen. Es ist aber zu bemerken, dass hier Stellen vorkommen m\"{u}ssen, wo jeder Bestandtheil f\"{u}r sich nicht unendlich klein wird; denn sonst w\"{u}rden die Glieder der Reihe f\"{u}r jeden Argumentwerth zuletzt unendlich klein werden. Es m\"{u}ssen also dann die Beitr\"{a}ge der symmetrisch zu beiden Seiten von $x$ gelegenen Stellen einander aufheben, so dass ihre Summe f\"{u}r ein unendliches $\mu$ unendlich klein wird. Hieraus folgt, dass die Reihe $\Omega$ nur f\"{u}r solche Werthe der Gr\"{o}sse $x$ convergiren kann, zu welchen die Stellen, wo nicht \[ \mu \mu \int\limits_b^c F(x) \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dx \] f\"{u}r ein unendliches $\mu$ unendlich klein wird, symmetrisch liegen. Offenbar kann daher nur dann, wenn die Anzahl dieser Stellen unendlich gross ist, die trigonometrische Reihe mit nicht in's Unendliche abnehmenden Coefficienten f\"{u}r eine unendliche Anzahl von Argumentwerthen convergiren. Umgekehrt ist \[ A_n = -nn \frac{2}{\pi} \int\limits_0^{\pi} \left( G(t) - A_0 \frac{tt}{2} \right) \cos nt \, dt \] und wird also mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein, wenn \[ \mu \mu \int\limits_b^c G(t) \cos \mu (t - a) \, \lambda(t) \, dt \] f\"{u}r ein unendliches $\mu$ immer unendlich klein wird. II. Wenn die Glieder der Reihe $\Omega$ f\"{u}r den Argumentwerth $x$ zuletzt unendlich klein werden, so h\"{a}ngt es nur von dem Gange der Function $G(t)$ f\"{u}r ein unendlich kleines $t$ ab, ob die Reihe convergirt oder nicht, und zwar wird der Unterschied zwischen \[ A_0 + A_1 + \cdots + A_n \] und dem Integrale \[ \frac{1}{\pi} \int\limits_0^b G(t) \frac{\displaystyle dd \frac{\displaystyle \sin \frac{2n+1}{2}t}{\displaystyle \sin \frac{t}{2}}}{dt^2} \varrho(t) \, dt \] mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein, wenn $b$ eine zwischen $0$ und $\pi$ enthaltene noch so kleine Constante und $\varrho(t)$ eine solche Function bezeichnet, dass $\varrho(t)$ und $\varrho'(t)$ immer stetig und f\"{u}r $t = b$ gleich Null sind, $\varrho''(t)$ nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, und f\"{u}r $t = 0$, $\varrho(t) = 1$, $\varrho'(t) = 0$, $\varrho''(t) = 0$, $\varrho'''(t)$ und $\varrho''''(t)$ aber endlich und stetig sind. \medbreak \centerline{12.} \nobreak\medskip Die Bedingung f\"{u}r die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe k\"{o}nnen freilich noch etwas beschr\"{a}nkt und dadurch unsere Untersuchungen ohne besondere Voraussetzungen \"{u}ber die Natur der Function noch etwas weiter gef\"{u}hrt werden. So z.~B.\ kann in dem zuletzt erhaltenen Satze die Bedingung, dass $\varrho''(0) = 0$ sei, weggelassen werden, wenn man in dem Integrale \[ \frac{1}{\pi} \int\limits_0^b G(t) \frac{\displaystyle dd \frac{\displaystyle \sin \frac{2n+1}{2}t}{\displaystyle \sin \frac{t}{2}}}{dt^2} \varrho(t) \, dt \] $G(t)$ durch $G(t) - G(0)$ ersetzt. Es wird aber dadurch nichts Wesentliches gewonnen. Indem wir uns daher zur Betrachtung besonderer F\"{a}lle wenden, wollen wir zun\"{a}chst der Untersuchung f\"{u}r eine Function, welche nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, diejenige Vervollst\"{a}ndigung zu geben suchen, deren sie nach den Arbeiten \emph{Dirichlet}'s noch f\"{a}hig ist. Es ist oben bemerkt, dass eine solche Function allenthalben integrirt werden kann, wo sie nicht unendlich wird, und es ist offenbar, dass dies nur f\"{u}r eine endliche Anzahl von Argumentwerthen eintreten kann. Auch l\"{a}sst der Beweis \emph{Dirichlet}'s, dass in dem Integralausdrucke f\"{u}r das $n \,$\-te Glied der Reihe und f\"{u}r die Summe ihrer $n$ ersten Glieder der Beitrag aller Strecken mit Ausnahme derer, wo die Function unendlich wird, und der dem Argumentwerth der Reihe unendlich nahe liegenden mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein wird, und dass \[ \int\limits_x^{x + b} f(t) \frac{\displaystyle \sin \frac{2n+1}{2}(x - t)}{\displaystyle \sin \frac{x-t}{2}} \, dt,\] wenn $0 < b < \pi$ und $f(t)$ zwischen den Grenzen des Integrals nicht unendlich wird, f\"{u}r ein unendliches $n$ gegen $\pi f(x + 0)$ convergirt, in der That nichts zu w\"{u}nschen \"{u}brig, wenn man die unn\"{o}thige Voraussetzung, dass die Function stetig sei, wegl\"{a}sst. Es bleibt also nur noch zu untersuchen, in welchen F\"{a}llen in diesen Integralausdr\"{u}cken der Beitrag der Stellen, wo die Function unendlich wird, mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein wird. Diese Untersuchung ist noch nicht erledigt; sondern es ist nur gegentlich von \emph{Dirichlet} gezeigt, dass dies stattfindet unter der Voraussetzung, dass die darzustellende Function eine Integration zul\"{a}sst, was nicht nothwendig ist. Wir haben oben gesehen, dass, wenn die Glieder der Reihe $\Omega$ f\"{u}r jeden Werth von $x$ zuletzt unendlich klein werden, die Function $F(x)$, deren zweiter Differentialquotient $f(x)$ ist, endlich und stetig sein muss, und dass \[ \frac{F(x + \alpha) - 2 F(x)+ F(x - \alpha)}{\alpha} \] mit $\alpha$ stets unendlich klein wird. Wenn nun $F'(x + t) - F'(x - t)$ nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, so muss es, wenn $t$ Null wird, gegen einen festen Grenzwerth $L$ convergiren oder unendlich gross werden, und es ist offenbar, dass \[ \frac{1}{\alpha} \int\limits_0^\alpha (F'(x + t) - F'(x - t)) \, dt = \frac{F(x + \alpha) - 2 F(x) + F(x - \alpha)}{\alpha} \] dann ebenfalls gegen $L$ oder gegen $\infty$ convergiren muss und daher nur unendlich klein werden kann, wenn $F'(x + t) - F'(x - t)$ gegen Null convergirt. Es muss daher, wenn $f(x)$ f\"{u}r $x = a$ unendlich gross wird, doch immer $f(a + t) + f(a - t)$ bis an $t = 0$ integrirt werden k\"{o}nnen. Dies reicht hin, damit \[ \left( \int\limits_b^{a - \varepsilon} + \int\limits_{a + \varepsilon}^c \right) dx \, \left( f(x) \cos n(x - a) \right) \] mit abnehmendem $\varepsilon$ convergire und mit wachsendem $n$ unendlich klein werde. Weil ferner die Function $F(x)$ endlich und stetig ist, so muss $F'(x)$ bis an $x = a$ eine Integration zulassen und $(x - a) F'(x)$ mit $(x - a)$ unendlich klein werden, wenn diese Function nicht unendlich viele Maxima und Minima hat; woraus folgt, dass \[ \frac{d(x - a) F'(x)}{dx} = (x - a) f(x) + F'(x) \] und also auch $(x - a) f(x)$ bis an $x = a$ integrirt werden kann. Es kann daher auch $\int f(x) \sin n(x - a) \, dx$ bis an $x = a$ integrirt werden, und damit die Coefficienten der Reihe zuletzt unendlich klein werden, ist offenbar nur noch n\"{o}thig, dass \[ \int\limits_b^c f(x) \sin n(x - a) \, dx, \mbox{ wo } b < a < c,\] mit wachsendem $n$ zuletzt unendlich klein werde. Setzt man \[ f(x) (x - a) = \varphi(x),\] so ist, wenn diese Function nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, f\"{u}r ein unendliches $n$ \[ \int\limits_b^c f(x) \sin n(x - a) \, dx = \int\limits_b^c \frac{\varphi(x)}{x - a} \sin n(x - a) \, dx = \pi \frac{\varphi(a + 0) + \varphi(a - 0)}{2},\] wie \emph{Dirichlet} gezeigt hat. Es muss daher \[ \varphi(a + t) + \varphi(a - t) = f(a + t) t - f(a - t) t \] mit $t$ unendlich klein werden, und da \[ f(a + t) + f(a - t) \] bis an $t = 0$ integrirt werden kann und folglich auch \[ f(a + t) t + f(a - t) t \] mit $t$ unendlich klein wird, so muss sowohl $f(a + t) t$, als $f(a - t) t$ mit abnehmenden $t$ zuletzt unendlich klein werden. Von Functionen, welche unendlich viele Maxima und Minima haben, abgesehen, ist es also zur Darstellbarkeit der Function $f(x)$ durch eine trigonometrische Reihe mit in's Unendliche abnehmenden Coefficienten hinreichend und nothwendig, dass, wenn sie f\"{u}r $x = a$ unendlich wird, $f(a + t) t$ und $f(a - t) t$ mit $t$ unendlich klein werden und $f(a + t) + f(a - t)$ bis an $t = 0$ integrirt werden kann. Durch eine trigonometrische Reihe, deren Coefficienten nicht zuletzt unendlich klein werden, kann eine Function $f(x)$, welche nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, da \[ \mu \mu \int\limits_b^c F(x) \cos \mu (x - a) \, \lambda(x) \, dt \] nur f\"{u}r eine endliche Anzahl von Stellen f\"{u}r ein unendliches $\mu$ nicht unendlich klein wird, auch nur f\"{u}r eine endliche Anzahl von Argumentwerthen dargestellt werden, wobei es unn\"{o}thig ist l\"{a}nger zu verweilen. \medbreak \centerline{13.} \nobreak\medskip Was die Functionen betrifft, welche unendlich viele Maxima und Minima haben, so ist es wohl nicht \"{u}berfl\"{u}ssig zu bemerken, dass eine Function $f(x)$, welche unendlich viele Maxima und Minima hat, einer Integration durchgehends f\"{a}hig sein kann, ohne durch die \emph{Fourier}'sche Reihe darstellbar zu sein. Dies findet z.~B.\ statt, wenn $f(x)$ zwischen $0$ und $2\pi$ gleich \[ \frac{\displaystyle d \left( x^\nu \cos \frac{1}{x} \right)}{dx}, \mbox{ und } 0 < \nu < {\textstyle \frac{1}{2}} \] ist. Denn wird in dem Integral $\displaystyle \int\limits_0^{2\pi} f(x) \cos n(x - a) \, dx$ mit wachsendem $n$ der Beitrag derjenigen Stelle, wo $x$ nahe $= \sqrt{\displaystyle \frac{1}{n}}$ ist, allgemein zu reden, zuletzt unendlich gross, so dass das Verh\"{a}ltniss dieses Integrals zu \[ {\textstyle \frac{1}{2}} \sin \left( 2 \sqrt{n} - n a + \frac{\pi}{4} \right) \sqrt{\pi} n^{\frac{1 - 2 \nu}{4}} \] gegen $1$ convergirt, wie man auf dem gleich anzugebenden Wege finden wird. Um dabei das Beispiel zu verallgemeinern, wodurch das Wesen der Sache mehr hervortritt, setze man \[ \int f(x) \, dx = \varphi(x) \cos \psi(x) \] und nehme an, dass $\varphi(x)$ f\"{u}r ein unendlich kleines $x$ unendlich klein und $\psi(x)$ unendlich gross werde, \"{u}brigens aber diese Functionen nebst ihren Differentialquotienten stetig seien und nicht unendlich viele Maxima und Minima haben. Es wird dann \[ f(x) = \varphi'(x) \cos \psi(x) - \varphi(x) \psi'(x) \sin \psi(x) \] und \[ \int f(x) \cos n(x - a) \, dx \] gleich der Summe der vier Integrale \[ {\textstyle \frac{1}{2}} \int \varphi'(x) \cos (\psi(x) \pm n(x - a)) \, dx,\] \[ - {\textstyle \frac{1}{2}} \int \varphi(x) \psi'(x) \sin (\psi(x) \pm n(x - a)) \, dx.\] Man betrache nun, $\psi(x)$ positiv genommen, das Glied \[ - {\textstyle \frac{1}{2}} \int \varphi(x) \psi'(x) \sin (\psi(x) + n(x - a)) \, dx \] und untersuche in diesem Integrale die Stelle, wo die Zeichenwechsel des Sinus sich am langsamsten folgen. Setzt man \[ \psi(x) + n(x - a) = y,\] so geschieht dies, wo $\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0$ ist, und also, \[ \psi'(\alpha) + n = 0 \] gesetzt, fur $x = \alpha$. Man untersuche also das Verhalten des Integrals \[ - {\textstyle\frac{1}{2}} \int\limits_{\alpha - \varepsilon}^{\alpha + \varepsilon} \varphi(x) \psi'(x) \sin y \, dx \] f\"{u}r den Fall, dass $\varepsilon$ f\"{u}r ein unendliches $n$ unendlich klein wird, und f\"{u}hre hiezu $y$ als Variable ein. Setzt man \[ \psi(\alpha) + n(\alpha - a) = \beta,\] so wird f\"{u}r ein hinreichend kleines $\varepsilon$ \[ y = \beta + \psi''(\alpha) \frac{(x - \alpha)^2}{2} + \cdots \] und zwar ist $\psi''(\alpha)$ positiv, da $\psi(x)$ f\"{u}r ein unendlich kleines $x$ positiv unendlich wird; es wird ferner \[ \frac{dy}{dx} = \psi''(\alpha)(x - \alpha) = \pm \sqrt{2 \psi''(\alpha) (y - \beta)},\] je nachdem $x - \alpha \neq 0$, und \begin{eqnarray*} - {\textstyle\frac{1}{2}} \int\limits_{\alpha - \varepsilon}^{\alpha + \varepsilon} \varphi(x) \psi'(x) \sin y \, dx \hspace{-72pt} \\ &=& {\textstyle \frac{1}{2}} \left( \int\limits_{\beta + \psi''(\alpha) \frac{\varepsilon \varepsilon}{2}}^\beta - \int\limits_\beta^{\beta + \psi''(\alpha) \frac{\varepsilon \varepsilon}{2}} \right) \left( \sin y \, \frac{dy}{\sqrt{y - \beta}} \right) \frac{\varphi(a) \psi'(\alpha)}{\sqrt{2 \psi''(\alpha)}} \\ &=& - \int\limits_0^{\psi''(\alpha) \frac{\varepsilon \varepsilon}{2}} \sin (y + \beta) \frac{dy}{\sqrt{y}} \frac{\varphi(a) \psi'(\alpha)}{\sqrt{2 \psi''(\alpha)}}. \end{eqnarray*} L\"{a}sst man also mit wachsendem $n$ die Gr\"{o}sse $\varepsilon$ so abnehmen, dass $\psi''(\alpha) \varepsilon \varepsilon$ unendlich gross wird, so wird, falls \[ \int\limits_0^\infty \sin (y + \beta) \frac{dy}{\sqrt{y}},\] welches bekanntlich gleich ist $\displaystyle \sin \left( \beta + \frac{\pi}{4} \right) \sqrt{\pi}$, nicht Null ist, von Gr\"{o}ssen niederer Ordnung abgesehen \[ - {\textstyle \frac{1}{2}} \int\limits_{\alpha - \varepsilon}^{\alpha + \varepsilon} \varphi(x) \psi'(x) \sin (\psi(x) + n(x - a)) \, dx = - \sin \left( \beta + \frac{\pi}{4} \right) \frac{\sqrt{\pi} \varphi(a) \psi'(\alpha)}{ \sqrt{2 \psi''(\alpha)}}.\] Es wird daher, wenn diese Gr\"{o}sse nicht unendlich klein wird, das Verh\"{a}ltniss von \[ \int\limits_0^{2\pi} f(x) \cos n(x - a) \, dx \] zu dieser Gr\"{o}sse, da dessen \"{u}brige Bestandtheile unendlich klein werden, bei unendlich Zunehmen von $n$ gegen $1$ convergiren. Nimmt man an, dass $\varphi(x)$ und $\psi'(x)$ f\"{u}r ein unendlich kleines $x$ mit Potenzen von $x$ von gleicher Ordnung sind und zwar $\varphi(x)$ mit $x^\nu$ und $\psi'(x)$ mit $x^{-\mu - 1}$ so dass $\nu > 0$ und $\mu \geq 0$ sein muss, so wird f\"{u}r ein unendliches $n$ \[ \frac{\varphi(a) \psi'(\alpha)}{\sqrt{2 \psi''(\alpha)}} \] von gleicher Ordnung mit $\displaystyle \alpha^{\nu - \frac{\mu}{2}}$ und daher nicht unendlich klein, wenn $\mu \geq 2 \nu$. Ueberhaupt aber wird, wenn $x \psi'(x)$ oder, was damit identisch ist, wenn $\displaystyle \frac{\psi(x)}{\log x}$ f\"{u}r ein unendlich kleines $x$ unendlich gross ist, sich $\varphi(x)$ immer so annehmen lassen, dass f\"{u}r ein unendlich kleines $x$ $\varphi(x)$ unendlich klein, \[ \varphi(x) \frac{\psi'(x)}{\sqrt{2 \psi''(x)}} = \frac{\varphi(x)}{\displaystyle \sqrt{- 2 \frac{d}{dx} \frac{1}{\psi'(x)}}} = \frac{\varphi(x)}{\displaystyle \sqrt{- 2 \lim \frac{1}{x \psi'(x)}}} \] aber unendlich gross wird, und folglich $\int\limits_x f(x) \, dx$ bis an $x =0$ erstreckt werden kann, w\"{a}hrend \[ \int\limits_0^{2\pi} f(x) \cos n(x - a) \, dx \] f\"{u}r ein unendliches $n$ nicht unendlich klein wird. Wie man sieht, heben sich in dem Integrale $\int\limits_x f(x) \, dx$ bei unendlichem Abnehmen von $x$ die Zuwachse des Integrals, obwohl ihr Verh\"{a}ltniss zu den Aenderungen von $x$ sehr rasch w\"{a}chst, wegen des raschen Zeichenwechsels der Function $f(x)$ einander auf; durch das Hinzutreten des Factors $\cos n(x - a)$ aber wird hier bewirkt, dass diese Zuwachse sich summiren. Ebenso wohl aber, wie hienach f\"{u}r eine Function trotz der durchg\"{a}ngigen M\"{o}glichkeit der Integration die \emph{Fourier}'sche Reihe nicht convergiren und selbst ihr Glied zuletzt unendlich gross werden kann,---ebsenso wohl k\"{o}nnen trotz der durchg\"{a}ngigen Unm\"{o}glichkeit der Integration von $f(x)$ zwischen je zwei noch so nahen Werthen unendlich viele Werthe von $x$ liegen, f\"{u}r welche die Reihe $\Omega$ convergirt. Ein Beispiel liefert, ($nx$) in der Bedeutung, wie oben (Art.~6.) genommen, die durch die Reihe \[ \sum_{1,\infty} \frac{(nx)}{n} \] gegebene Function, welche f\"{u}r jeden rationalen Werth von $x$ vorhanden ist und sich durch die triogonometrische Reihe \[ \sum_{1,\infty}{}^n \frac{\Sigma^\theta - (-1)^\theta}{n\pi} \sin 2nx\pi, \] wo f\"{u}r $\theta$ alle Theiler von $n$ zu setzen sind, darstellen l\"{a}sst, welche aber in keinem noch so kleinen Gr\"{o}ssenintervall zwischen endlichen Grenzen enthalten ist und folglich nirgends eine Integration zul\"{a}sst. Ein anderes Beispiel erh\"{a}lt man, wenn man in den Reihen \[ \sum_{0,\infty} c_n \cos n n x,\quad \sum_{0,\infty} c_n \sin n n x,\] fur $c_0, c_1, c_2,\ldots$ positive Gr\"{o}ssen setzt, welche immer abnehmen und zuletzt unendlich klein werden, w\"{a}hrend $\sum\limits_{1,n}^s c_s$ mit $n$ unendlich gross wird. Denn wenn das Verh\"{a}ltniss von $x$ zu $2\pi$ rational und in den kleinsten Zahlen ausgedr\"{u}ckt, ein Bruch mit dem Nenner $m$ ist, so werden offenbar diese Reihen convergiren oder in's Unendliche wachsen, je nachdem \[ \sum_{0,m-1} \cos nnx,\quad \sum_{0,m-1} \sin nnx \] gleich Null oder nicht gleich Null sind. Beide F\"{a}lle aber treten nach einem bekannten Theoreme der Kreistheilung\footnote{Disquis.\ ar.\ pag.~636 art.~356. (Gauss Werke Bd.~I. pag.~442.)} zwischen je zwei noch so engen Grenzen f\"{u}r unendlich viele Werthe von $x$ ein. In einem eben so grossen Umfange kann die Reihe $\Omega$ auch convergiren, ohne dass der Werth der Reihe \[ C' + A_0 x - \sum \frac{1}{nn} \frac{dA_n}{dx},\] welche man durch Integration jedes Gliedes aus $\Omega$ erh\"{a}lt, durch ein noch so kleines Gr\"{o}ssenintervall integrirt werden k\"{o}nnte. Wenn man z.~B.\ den Ausdruck \[ \sum_{1,\infty} \frac{1}{n^3} (1 - q^n) \log \left( \frac{-\log (1 - q^n)}{q^n} \right),\] wo die Logarithmen so zu nehmen sind, dass sie f\"{u}r $q = 0$ verschwinden, nach steigenden Potenzen von $q$ entwickelt und darin $q = e^{xi}$ setzt, so bildet der imagin\"{a}re Theil eine trigonometrische Reihe, welche zweimal nach $x$ differentiirt in jedem Gr\"{o}ssenintervall unendlich oft convergirt, w\"{a}hrend ihr erster Differentialquotient unendlich oft unendlich wird. In demselben Umfange, d.~h.\ zwischen je zwei noch so nahen Argumentwerthen unendlich oft, kann die trigonometrische Reihe auch selbst dann convergiren, wenn ihre Coefficienten nicht zuletzt unendlich klein werden. Ein enfaches Beispiel einer solchen Reihe bildet die unendliche Reihe $\sum\limits_{1,\infty} \sin (n! x\pi)$, wo $n!$, wie gebr\"{a}uchlich, $ = 1.2.3 \ldots n$, welche nicht bloss f\"{u}r jeden rationalen Werth von $x$ convergirt, indem sie sich in eine endliche verwandelt, sondern auch f\"{u}r eine unendliche Anzahl von irrationalen, von denen die einfachsten sind $\sin 1$, $\cos 1$, $\displaystyle \frac{2}{e}$ und deren Vielfache, ungerade Vielfache von $e$, $\displaystyle \frac{\displaystyle e - \frac{1}{e}}{4}$, u.~s.~w. \vfill\eject \centerline{\large\textit{Inhalt.}} \nobreak\medskip \noindent Geschichte der Frage \"{u}ber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe. \begin{description} \item[\textmd{\S.~1.}] Von \emph{Euler} bis \emph{Fourier}.\newline Ursprung der Frage in dem Streite \"{u}ber die Tragweite der \emph{d'Alem\-bert}'schen und \emph{Bernoulli}'schen L\"{o}sung des Problems der schwingenden Saiten im Jahre 1753. Ansichten von \emph{Euler}, \emph{d'Alembert}, \emph{Lagrange}. \item[\textmd{\S.~2.}] Von \emph{Fourier} bis \emph{Dirichlet}.\newline Richtige Ansicht \emph{Fourier}'s, bek\"{a}mpft von \emph{Lagrange}. 1807.\newline \emph{Cauchy}. 1826. \item[\textmd{\S.~3.}] Seit \emph{Dirichlet}.\newline Erledigung der Frage durch \emph{Dirichlet} f\"{u}r die in der Natur vorkommenden Functionen. 1829. \emph{Dirksen}. \emph{Bessel}. 1839. \end{description} \noindent Ueber den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner G\"{u}ltigkeit. \begin{description} \item[\textmd{\S.~4.}] Definition eines bestimmten Integrals. \item[\textmd{\S.~5.}] Bedingungen der M\"{o}glichkeit eines bestimmten Integrals. \item[\textmd{\S.~6.}] Besondere F\"{a}lle. \end{description} \noindent Untersuchung der Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, ohne besondere Voraussetzungen \"{u}ber die Natur der Function. \begin{description} \item[\textmd{\S.~7.}] Plan der Untersuchung. \end{description} \noindent I. Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, deren Coefficienten zuletzt unendlich klein werden. \begin{description} \item[\textmd{\S.~8.}] Beweise einiger f\"{u}r diese Untersuchung wichtigen S\"{a}tze. \item[\textmd{\S.~9.}] Bedingungen f\"{u}r die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe mit in's Unendliche abnehmenden Coefficienten. \item[\textmd{\S.~10.}] Die Coefficienten der \emph{Fourier}'schen Reihe werden zuletzt unendlich klein, wenn die darzustellende Function durchgehends endlich bleibt und eine Integration zul\"{a}sst. \end{description} \noindent II. Uber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe mit nicht in's Unendliche abnehmenden Coefficienten. \begin{description} \item[\textmd{\S.~11.}] Zur\"{u}ckf\"{u}hrung dieses Falles auf den vorigen. \end{description} \noindent Betrachtung besonderer F\"{a}lle. \begin{description} \item[\textmd{\S.~12.}] Functionen, welche nicht unendlich viele Maxima und Minima haben. \item[\textmd{\S.~13.}] Functionen, welche unendlich viele Maxima und Minima haben. \end{description} \end{document}