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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large\bfseries
Ueber die Gesetze der Vertheilung von
Spannungselectricit\"{a}t in ponderabeln K\"{o}rpern, wenn diese
nicht als vollkommene Leiter oder Nichtleiter, sondern als dem
Enthalten von Spannungselectricit\"{a}t mit endlicher Kraft
widerstrebend betrachtet werden.\\[12 pt]
Bernhard Riemann\\[12 pt]
[Amtlicher Bericht \"{u}ber die 31.~Versammlung deutscher
Naturforscher und Aerzte zu G\"{o}ttingen im September
1854.]\\[24 pt]
\large\mdseries
Transcribed by D. R. Wilkins\\[12 pt]
Preliminary Version: December 1998\\
Corrected: April 2000
\end{center}

\newpage
\setcounter{page}{1}


\title{Ueber die Gesetze der Vertheilung von
Spannungselectricit\"{a}t in ponderabeln K\"{o}rpern, wenn diese
nicht als vollkommene Leiter oder Nichtleiter, sondern als dem
Enthalten von Spannungselectricit\"{a}t mit endlicher Kraft
widerstrebend betrachtet werden.}
\author{Bernhard Riemann}
\date{[Amtlicher Bericht \"{u}ber die 31.~Versammlung deutscher
Naturforscher und Aerzte zu G\"{o}ttingen im September
1854.\thanks{Vortrag gehalten am 21.\ Sept.  1854.}\ ]}

\maketitle

Mittelst der sinnreichen Werkzeuge f\"{u}r
Spannungselectricit\"{a}t, welche Herr Prof.\ \emph{Kohlrausch}
in der gestrigen Sitzung dieser Section erw\"{a}hnte, hat
derselbe auch die Bildung des R\"{u}ckstandes in der Leydener
Flasche und in andern Apparaten zur Bindung von Electricit\"{a}t
untersucht.  Diese Erscheinung ist im Wesentlichen folgende: Wenn
man eine Leydener Flasche, nachdem sie l\"{a}ngere Zeit geladen
gestanden hat, entladet und sie dann eine Zeit lang isolirt
stehen l\"{a}sst, so tritt nach einiger Zeit eine merkliche
Ladung wieder auf.  Sie f\"{u}hrt zu der Annahme, dass bei der
ersten Entladung nur ein Theil der geschiedenen
Electricit\"{a}tsmenge sich wieder vereinigte, ein Theil aber in
der Flasche zur\"{u}ckblieb.  Den ersten Theil nennt man die
disponible Ladung, den zweiten den R\"{u}ckstand.  Die
Genauigkeit der Messungen, welche Herr Prof.\ \emph{Kohlrauch}
\"{u}ber das Sinken der disponibeln Ladung und \"{u}ber das
Wiederauftreten des R\"{u}ckstandes angestellt hat, reizte mich,
an derselben ein aus andern Gr\"{u}nden wahrscheinliches Gesetz
zu pr\"{u}fen, welches eine in der bisherigen Theorie der
Spannungselectricit\"{a}t vorhandene L\"{u}cke ausf\"{u}llt.

Bekanntlich beziehen sich die mathematischen Untersuchungen
\"{u}ber Spannungselectricit\"{a}t auf ihre Vertheilung in
vollkommenen und v\"{o}llig isolirten Leitern; man betrachtet
also die ponderabeln K\"{o}rper entweder als absolute Leiter oder
als absolute Nichtleiter.  Eine Folge davon ist, dass nach dieser
Theorie sich beim Gleichgewicht die gesammte
Spannungselectricit\"{a}t nur an den Grenzfl\"{a}chen der Leiter
und Isolatoren ansammelt.  Zugestandenermassen aber ist dies eine
blosse Fiction.  In der Natur wird es weder einen K\"{o}rper
geben, in welchen durchaus keine Spannungselectricit\"{a}t
eindringen kann, noch einem K\"{o}rper, in welchem sich die
gesammte Spannungselectricit\"{a}t auf eine mathematische
Fl\"{a}che zusammenziehen kann.  Man muss vielmehr annehmen, dass
die ponderabeln K\"{o}rper dem Aufnehmen oder dem Enthalten von
Spannungselectricit\"{a}t mit endlicher Kraft widerstreben, und
zwar ist die Annahme, deren Consequenzen sich der Erfahrung
gem\"{a}ss zeigen, die, dass sie nicht dem electrisch Werden oder
dem Aufnehmen von Spannungselectricit\"{a}t, sondern dem
electrisch Sein oder dem Enthalten von Spannungselectricit\"{a}t
widerstreben.  Das Gesetz dieses Widerstrebens ist, je nach der
dualistischen oder unitarischen Vorstellungsart, folgendes.  Nach
der dualistischen Vorstellungsart, nach welcher die
Spannungselectricit\"{a}t der Ueberschuss der positiven
Electricit\"{a}t \"{u}ber die negative ist, muss man in jedem
Punkte des ponderabeln K\"{o}rpers eine Ursache annehmen, welche
mit einer der Dichtigkeit dieses Ueberschusses proportionalen
Intensit\"{a}t die Dichtigkeit der Electricit\"{a}t gleichen
Zeichens---derjenigen, welche im Ueberschuss vorhanden ist---zu
verminden und die der entgegengesetzten zu  vermehren strebt.
Nach der unitarischen Auffassungsweise, nach welcher die
Spannungselectricit\"{a}t der Ueberschuss der in dem K\"{o}rper
enthaltenen Electricit\"{a}t \"{u}ber ihm nat\"{u}rliche ist,
muss man in jedem Punkte desselben eine Ursache annehmen, welche
mit einer der Dichtigkeit dieses Ueberschusses proportionalen
Intensit\"{a}t die Dichtigkeit der Electricit\"{a}t zu vermindern
oder bei negativem Ueberschuss zu vermehren strebt.  Ausser dieser
Bewegungsursache hat man nun, wenn keine merklichen thermischen
oder magnetischen oder voltainductorischen Wirkungen und
Einfl\"{u}sse stattfinden, und die ponderabeln K\"{o}rper gegen
einander ruhen, nur noch die dem \emph{Coulomb}'schen Gesetz
gem\"{a}sse electromotorische Kraft in Rechnung zu ziehen.  Unter
denselben Umst\"{a}nden kann man f\"{u}r die Abh\"{a}ngigkeit der
erfolgten Bewegung von den Bewegungsursachen Proportionalit\"{a}t
zwischen electromotorischer Kraft und Stromintensit\"{a}t
annehmen.

Um diese Bewegungsgesetze in Formeln auszudr\"{u}cken, seien
$x$,~$y$,~$z$ rechtwinklige Coordinaten und im Punkte $(x, y, z)$
zur Zeit~$t$ die Dichtigkeit der Spannungselectricit\"{a}t
$\varrho$, und $u$ der $4 \pi^{\mathrm{te}}$ Theil des Potentials
der gesammten Spannungselectricit\"{a}t nach \emph{Gauss}'scher
Definition nach welcher das Potential in einem bestimmten Punkte
gleich ist dem Integral \"{u}ber s\"{a}mmtliche Massen
Spannungselectricit\"{a}t, jede dividirt durch die Entfernung von
diesem Punkte.  Die dem \emph{Coulomb}'schen Gesetz gem\"{a}sse
electromotorische Kraft ist dann, nach den Richtungen der drei
Axen zerlegt, proportional
\[ - \frac{\partial u}{\partial x},\quad
   - \frac{\partial u}{\partial y},\quad
   - \frac{\partial u}{\partial z},\]
die von der Reaction des ponderabeln K\"{o}rpers herr\"{u}hrende
proportional
\[ - \frac{\partial \varrho}{\partial x},\quad
   - \frac{\partial \varrho}{\partial y},\quad
   - \frac{\partial \varrho}{\partial z}.\]
Die Componenten der electromotorischen Kraft k\"{o}nnen also
gleich gesetzt werden
\[ - \frac{\partial u}{\partial x}
      - \beta^2 \frac{\partial \varrho}{\partial x},\quad
   - \frac{\partial u}{\partial y}
      - \beta^2 \frac{\partial \varrho}{\partial y},\quad
   - \frac{\partial u}{\partial z}
      - \beta^2 \frac{\partial \varrho}{\partial z},\]
wo $\beta^2$ nur von der Natur des ponderabeln K\"{o}rpers
abh\"{a}ngt.  Diesen sind nun die Componenten der
Stromintensit\"{a}t proportional, sie sind also
$= \alpha \xi$, $\alpha \eta$, $\alpha \zeta$,
wenn man durch $\xi$, $\eta$, $\zeta$ die Componenten der
Stromintensit\"{a}t und durch $\alpha$ eine von der Natur des
ponderabeln K\"{o}rpers abh\"{a}ngige Constante bezeichnet.

Verbindet man hiermit die phoronomische Gleichung
\[       \frac{\partial \varrho}{\partial t}
       + \frac{\partial \xi    }{\partial x}
       + \frac{\partial \eta   }{\partial y}
       + \frac{\partial \zeta  }{\partial z}
   = 0,\]
welche man erh\"{a}lt, indem man die in das Raumelement
$dx \, dy \, dz$
im Zeitelement $dt$ einstr\"{o}mende Electricit\"{a}tsmenge auf
doppelte Weise ausdr\"{u}ckt, und die Gleichung
\[       \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
       + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
       + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
   = - \varrho,\]
welche aus dem Begriffe des Potentials folgt, so erh\"{a}lt man,
indem man erstere mit $\alpha$ multiplicirt und f\"{u}r
$\xi$, $\eta$, $\zeta$ ihre Werthe setzt, die Gleichung
\[ \alpha \frac{\partial \varrho}{\partial t}
       + \varrho
       - \beta^2
         \left\{
            \frac{\partial^2 \varrho}{\partial x^2}
          + \frac{\partial^2 \varrho}{\partial y^2}
          + \frac{\partial^2 \varrho}{\partial z^2}
         \right\}
   = 0.\]

Diese giebt f\"{u}r $u$ eine partielle Differentialgleichung,
welche in Bezug auf $t$ von ersten, in Bezug auf die
Raumcoordinaten vom vierten Grade ist, und um von einem
bestimmten Zeitpunkte an $u$ innerhalb des ponderabeln
K\"{o}rpers allenthalben vollst\"{a}ndig zu bestimmen, werden
ausser dieser Gleichung in jedem Punkte desselben Eine Bedingung
f\"{u}r die Anfangszeit und f\"{u}r die Folge in jedem
Oberfl\"{a}chenpunkte zwei Bedingungen erforderlich sein.

Ich werde nun die Consequenzen dieser Gesetze in einigen
besonderen F\"{a}llen mit der Erfahrung vergleichen.

F\"{u}r das Gleichgewicht (in einem System isolirter Leiter) ist
\[   \frac{\partial u}{\partial x}
      + \beta^2 \frac{\partial \varrho}{\partial x}
   = 0,\quad
     \frac{\partial u}{\partial y}
      + \beta^2 \frac{\partial \varrho}{\partial y}
   = 0,\quad
     \frac{\partial u}{\partial z}
      + \beta^2 \frac{\partial \varrho}{\partial z}
   = 0 \]
oder
\[ u + \beta^2 \varrho = \mathrm{Const.},\]
oder, da
\[ - \varrho
   =     \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
       + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
       + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2},\]
\[ u - \beta^2
      \left(
         \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
       + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
       + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
      \right) = \mathrm{Const.} \]
F\"{u}r die Stromausgleichung oder den Beharrungszustand der
Vertheilung (im Schliessungsbogen constanter Ketten) ist
\[ \frac{\partial \varrho}{\partial t} = 0 \]
oder
\[ \varrho - \beta^2
      \left(
         \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
       + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
       + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
      \right) = 0.\]

Wenn nun die L\"{a}nge $\beta$ gegen die Dimensionen des
ponderabeln K\"{o}rpers sehr klein ist, so nimmt
$u - \mathrm{Const.}$
im erstern Falle und $\varrho$ im zweiten von der Oberfl\"{a}che
ab sehr schnell ab und ist im Innern \"{u}berall sehr klein, und
zwar \"{a}ndern sich diese Gr\"{o}ssen mit dem Abstande $p$ von
der Oberfl\"{a}che nahe wie
$\displaystyle e^{-\frac{p}{\beta}}$.
Dieser Fall wird bei den metallischen Leitern angenommen werden
m\"{u}ssen; wird $\beta = 0$ gesetzt, so erh\"{a}lt man die
bekannten Formeln f\"{u}r vollkommene Leiter.

Bei der Anwendung dieser Gesetze auf die R\"{u}ckstandsbildung in
der Leydener Flasche musste ich, da Angaben \"{u}ber die
Dimensionen der Apparate fehlten, annehmen, dass die Dimensionen
derselben gegen den Abstand der Belegungen als unendlich gross
betrachtet werden d\"{u}rften.  Mit der Ausf\"{u}hrung der
Rechnung wage ich die verehrten Anwesenden nicht zu erm\"{u}den
und begn\"{u}ge mich das Resultat derselben anzugeben.

Aus dem Messungen des Herrn Prof.\ \emph{Kohlrausch} hatte sich
ergeben, dass die disponible Ladung, als Function der Zeit
betrachtet, nahe durch eine Parabel dargestellt wird, dass jedoch
der Parameter der Parabel, welche sich der Ladungscurve am
n\"{a}chsten anschliesst, langsam abnimmt, so dass wenn man die
anf\"{a}ngliche Ladung durch $L_0$, die zur Zeit~$t$ durch $L_t$
bezeichnet,
$\displaystyle \frac{L_0 - L_t}{\sqrt{t}}$
eine Gr\"{o}sse ist, welche mit wachsendem $t$ allm\"{a}hlich
abnimmt.

Dasselbe ergab sich auch aus der Rechnung, wenn angenommen wurde,
dass sowohl $\alpha$ als $\beta^2$ beim Glase, wie dies von vorn
herein zu erwarten war, sehr gross sei und als unendlich gross
betrachtet werden d\"{u}rfe, w\"{a}hrend ihr Quotient endlich
bleibt.  Eine sch\"{a}rfere Vergleichung der Rechnung mit den
Beobachtungen habe ich nicht angestellt, namentlich aus dem
Grunde, weil mir Angaben \"{u}ber die Dimensionen der Apparate
und \"{u}berhaupt alle Mittel fehlten, die wegen der Abweichungen
von den Voraussetzungen der Rechnung n\"{o}thigen Correctionen zu
bestimmen.  Es w\"{a}re eine solche namentlich zur Bestimmung der
electrischen Constanten des Glases zu w\"{u}nschen.  Doch halte
ich das hier aufgestellte Gesetz f\"{u}r die Vertheilung der
Spannungselectricit\"{a}t f\"{u}r vollkommen durch die Messungen
des Herrn Prof.\ \emph{Kohlrausch} best\"{a}tigt.

Ich darf wohl noch in der K\"{u}rze die Anwendung dieses Gesetzes
auf einen andern Gegenstand besprechen.

Bekanntlich wird die Fortpflanzung der galvanischen Str\"{o}me in
metallischen Leitern und die in Folge derselben stattfindene
Stromausgleichung bei constanten oder langsam sich \"{a}ndernden
electromotorischen Kr\"{a}ften durch die dabei auftretende
Spannungselectricit\"{a}t bewirkt.  Dieser Vorgang ist wegen
seiner ungemein kurzen Dauer und der hinzukommenden thermischen
und magnetischen Wirkungen nur in seinen Resultaten der
experimentalen Forschung zug\"{a}nglich, und die einzigen
experimentellen Bestimmungen, welche wir dar\"{u}ber haben, sind
die Messungen der Fortpflanzungsgeschwindigkeit in
Telegraphendr\"{a}hten und die \emph{Ohm}'schen Gesetze der
Stromausgleichung.  Eine genauere Analyse der \emph{Ohm}'schen
Gesetze f\"{u}hrt indess ebenfalls zu der hier gemachten Annahme,
und ich wurde in der That dadurch zuerst auf sie gef\"{u}hrt.

\emph{Ohm} bestimmt die Stromvertheilung bei der
Stromausgleichung durch folgende zwei Bedingungen:

1) Um die den wirklich erfolgten Stromintensit\"{a}ten
proportionalen electromotorischen Kr\"{a}fte zu erhalten, muss
man zu den \"{a}ussern electromotorischen Kr\"{a}ften Kr\"{a}fte
hinzuf\"{u}gen, welche die Differentialquotienten Einer Function
des Orts, der Spannung, sind.

2) Bei der Stromausgleichung st\"{o}mt in jeden Theil des
ponderabeln Leiters eben so viel Electricit\"{a}t ein als aus.

\emph{Ohm} glaubte nun, dass die Spannung, diese Function des
Orts, von welcher die inneren electromotorischen Kr\"{a}fte die
Differentialquotienten sind, von der Spannungselectricit\"{a}t so
abhinge, dass sie ihrer Dichtigkeit proportional sei, welche
Annahme in der That das Zustandekommen beider Bedingungen
erkl\"{a}rt.  Aber es haben schon, fast gleichzeitig,
Herr Prof.\ \emph{Weber}\footnote{Abhandlungen d.\ k.\
s\"{a}chs.\ Ges.\ d.\ W.  1852, I.~S.~293.}
und \emph{Kirchhoff}\footnote{Poggendorff's Annalen.  Bd.~79,
S.~506.}
darauf aufmerksam gemacht, dass dann die Electricit\"{a}t im
Gleichgewicht sein m\"{u}sste, wenn sie den ponderabeln
K\"{o}rper mit gleichm\"{a}ssiger Dichtigkeit erf\"{u}llte,
w\"{a}hrend sie doch der Erfahrung nach beim Gleichgewicht auf
der Oberfl\"{a}che vertheilt ist.  Die Spannung muss eine
Function sein, welche beim Gleichgewicht in ganzen Leiter
constant ist, und also vielmehr dem Potential der
Spannungselectricit\"{a}t proportional sein, und diese innern
electromotorischen Kr\"{a}fte sind mit den dem
\emph{Coulomb}'schen Gesetz gem\"{a}ssen identisch.

Diese Ansicht \"{u}ber die Spannung wurde auch von den meisten
Forschern angenommen.  Dabei aber blieb es ununtersucht, durch
welche Ursachen bei der Stromausgleichung die zweite Bedingung
hergestellt wurde, dass in jedem ponderabeln K\"{o}rpertheil die
Electricit\"{a}tsmenge constant bleibe.

Nach der dualistischen Auffassung muss sowohl die positive als
die negative Electricit\"{a}tsmenge constant bleiben; dass kein
merklicher Ueberschuss Einer Electricit\"{a}t sich bilde, scheint
man, wenigstens so lange man auf die Gr\"{o}ssenverh\"{a}ltnisse
nicht n\"{a}her eingeht, aus der Anziehung der entgegengesetzten
Electricit\"{a}ten nach dem \emph{Coulomb}'schen Gesetz
erkl\"{a}ren zu k\"{o}nnen, und man muss dann noch eine Ursache,
dass die neutrale Electricit\"{a}t in jedem K\"{o}rpertheil
constant bleibe, also einen Druck des Ponderabile auf sie,
annehmen.  Diese Annahme habe ich auf Anregung des
Herrn Prof.\ \emph{Weber} schon vor mehreren Jahren der Rechnung
zu unterwerfen gesucht, ohne zu einem befriedigenden Resultat zu
gelangen.

Nach unitarischer Auffassung bedarf es nur eine Ursache, welche
die in einem ponderabeln K\"{o}rpertheil enthaltene
Electricit\"{a}tsmenge constant zu erhalten strebt.  Man wird so
geradeswegs zu der obigen Annahme gef\"{u}hrt, dass jeder
ponderabele K\"{o}rper Electricit\"{a}t von bestimmter
Dichtigkeit zu besitzen strebt und sowohl einem gr\"{o}sseren als
einem geringeren erf\"{u}llt Sein widerstrebt.  Das Gesetz dieses
Widerstrebens kann man so annehmen, wie es sich f\"{u}r das Glas
durch die Erfahrung best\"{a}tigt hat.

Diese Betrachtungen f\"{u}hren also dazu, die urspr\"{u}ngliche
\emph{Franklin}'sche Auffassung der electrischen Erscheinungen
als diejenige anzunehmen, welche man f\"{u}r das tiefere
Eindringen in den Zusammenhang dieser Erscheinungen unter sich
und mit andern Erscheinungen zu Grunde zu legen und der weitern
Aus- und Umbildung nach den Geboten und Winken der Erfahrung zu
unterwerfen hat.

M\"{o}chten sie in dem Kreise bew\"{a}hrter Forscher, vor denen
ich sie zu entwickeln die Ehre hatte, einer n\"{a}hern
Pr\"{u}fung werth gefunden werden.

\end{document}